Question

17．如图，抛物线y=$\frac{1}{2}$（x-3）²-1与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）试求点A、B、D的坐标；
（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD于点H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE、AD．求证：∠AEO=∠ADC；
（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙O的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据坐标轴上点的坐标特点求得与x轴的交点坐标，根据顶点式直接写出二次函数的顶点坐标即可；
（2）过点D作DG⊥y轴于点G，首先证得△CDG∽△OEM，从而利用相似三角形的性质求得解得EM=2，进而求得E点坐标为（3，2），然后得到∠ADC+∠AFD=90°，再根据∠AEO+∠HFE=90°，∠AFD=∠HFE得到∠AEO=∠ADC即可；
（3）根据题意得到要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP²最小．然后设P点坐标为（x，y），则PQ=x-3，EQ=2-y，由勾股定理得EP²=（x-3）²+（2-y）²解得x₁=1，x₂=5，从而确定点P的坐标为（5，1）．

解答 解：（1）由y=0得$\frac{1}{2}$（x-3）²-1=0，解得x₁=3-$\sqrt{2}$，x₂=3+$\sqrt{2}$，
又∵点A在点B的左侧，
∴A点坐标为（3-$\sqrt{2}$，0），B点坐标为（3+$\sqrt{2}$，0），
由抛物线解析式y=$\frac{1}{2}$（x-3）²-1可得顶点D的坐标为（3，-1）．

（2）如图1，过点D作DG⊥y轴于点G，

∵∠DCG=∠EOM，∠CGD=∠OME=90°，
∴△CDG∽△OEM，
∴$\frac{CG}{OM}=\frac{DG}{EM}$，即$\frac{3}{2}=\frac{3}{EM}$，
∴解得EM=2，
∴E点坐标为（3，2），ED=2+1=3，
在Rt△AEM中，
由勾股定理得AE²=EM²+AM²=2²+[3-（3-$\sqrt{2}$）]²=6，
在Rt△ADM中，
由勾股定理得AD²=DM²+AM²=1²+[3-（3-$\sqrt{2}$）]²=3，
∴AE²+AD²=6+3=9=3²=ED²，
∴△AED是直角三角形，即∠DAE=90°．
设AE交CD于点F，
∴∠ADC+∠AFD=90°，
又∵∠AEO+∠HFE=90°，∠AFD=∠HFE，
∴∠AEO=∠ADC．

（3）如图2，

由⊙E的半径为1，由勾股定理得PQ²=EP²-1，要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP²最小．
设P点坐标为（x，y），则PQ=x-3，EQ=2-y，
∴由勾股定理得EP²=（x-3）²+（2-y）²，
∵y=$\frac{1}{2}$（x-3）²-1，∴（x-3）²=2y+2，
∴EP²=2y+2+y²-4y+4=（y-1）²+5，当y=1时，EP²最小值为5．
把y=1代入y=$\frac{1}{2}$（x-3）²-1得$\frac{1}{2}$（x-3）²-1=1，
解得x₁=1，x₂=5，
又∵点P在对称轴右侧的抛物线上，
∴x₁=1不合题意，舍去，
∴点P的坐标为（5，1）．

点评 本题考查了二次函数的综合知识、求抛物线与坐标轴的交点坐标、勾股定理等知识，知识点较多，题目较复杂，是中考的热点考点之一，应该加强有关训练．