Question

10．如图1，直角△ABC中，∠ABC=90°，AB是⊙O的直径，⊙O交AC于点D，取CB的中点E，DE的延长线与AB的延长线交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若OB=BP，AD=6，求BC的长；
（3）如图2，连接OD，AE相交于点F，若tan∠C=2；
①求$\frac{AF}{FE}$的值；②若半径r=13，求OF的长．

Answer 1

分析 （1）首先证明△ODE≌△OBE，即可得出∠ODE=∠OBE=90°，得出答案即可；
（2）先证明△ODB是等边三角形，即可得出∠CBD=30°，进而得到CD=$\frac{1}{2}$BC，BC=$\frac{1}{2}$AC，求出CD的长进而得出BC的长；
（3）利用tan∠C=2，∠CDB=90°，则$\frac{BD}{CD}$=2，进而设CD=a，BD=2a，AD=4a，进而得到AC=5a，由$\frac{AF}{FE}$=$\frac{AD}{OE}$，即可求出比值以及OF的长．

解答 解：（1）如图1，连接BD，OD，OE．
∵AB是直径，
∴∠ADB=∠CDB=90°．
∵E是BC中点，
∴DE=EC=EB．
在△ODE和△OBE中
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OB}\\{OE=OE}\\{DE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ODE≌△OBE（SSS）．
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∴OD⊥DP，
∴PD是⊙O的切线．

（2）∵OB=BP，∠ODP=90°，
∴DB=OB=BP，即DB=OB=OD．
∴△ODB是等边三角形．
∴∠DOB=60°．
∴∠A=30°．
又∵∠ABC=90°，
∴∠C=60°．
∴∠CBD=30°．
∴CD=$\frac{1}{2}$BC，BC=$\frac{1}{2}$AC，
设CD=x，BC=2x，
∵AD=6，
∴2x=$\frac{1}{2}$（6+x），
∴x=2，
∴BC=4．

（3）①如图2，连接BD，OE．
∵tan∠C=2，∠CDB=90°，
∴$\frac{BD}{CD}$=2，
∴$\frac{AD}{BD}$=2．
设CD=a，BD=2a，AD=4a，
∴AC=5a．
∵O是AB中点，E是BC中点，
∴EO∥AC，OE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{5}{2}$a．
∴$\frac{AF}{FE}$=$\frac{AD}{OE}$，
∴$\frac{AF}{FE}$=$\frac{4a}{\frac{5}{2}a}$=$\frac{8}{5}$．
②根据半径r=13，可得OD=13，
∵EO∥AC，
∴$\frac{AF}{FE}$=$\frac{DF}{OF}$=$\frac{8}{5}$，
∴OF=$\frac{5}{13}$OD=5，
即OF的长为5．

点评 此题属于圆的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质、锐角三角函数关系等知识，根据平行线分线段成比例定理列出比例式是解题关键．