Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标是（-2，0），点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OC＜OB）是方程x²-10x+24=0的两个根．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使CP+AP的值最小，求出点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据线段OB、OC的长（OC＜OB）是方程x²-10x+24=0的两个根，求出点B、点C的坐标是，再分别代入y=ax²+bx+c，求出方程组的解即可，
（2）由A（-2，0），B（6，0）求出对称轴，连接BC，交对称轴于点P，则此时AP+AP的值最小，设直线BC的解析式为y=kx+b，根据B（6，0），C（0，4），求出直线BC的解析式，再由当x=2时，y=

8

3

即可得出点P的坐标．

解答：解：（1）∵线段OB、OC的长（OC＜OB）是方程x²-10x+24=0的两个根，
∴OC=4，OB=6，
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，
∴点B的坐标是（6，0）点C的坐标是（0，4），
∴

0=4a-2b+c 0=36a+6b+c 4=c

，
解得：a=-

1

3

，b=

4

3

，c=4，
∴二次函数的解析式是：y=-

1

3

x²+

4

3

x+4；
（2）由A（-2，0），B（6，0）可知对称轴为x=2，
连接BC，交对称轴于点P，
则此时AP+AP的值最小，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵B（6，0），C（0，4），
∴

4=b 0=6k+b

，解得k=-

2

3

，b=4，
∴直线BC的解析式为：y=-

2

3

x+4，
当x=2时，y=

8

3

，
∴P点坐标为（2，

8

3

）．

点评：此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是二次函数的图象与性质、最短路径问题、一次函数，关键是根据题意画出图形，做出辅助线，画出P点的位置．