Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG，EG．（正方形的各边都相等，各角均为90°）
（1）判断CE与BG的关系，并说明理由；
（2）若BC=3，AB=5，则AEG面积等于

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）易证∠EAC=∠BAG，即可证明△EAC≌△BAG，可得CE=BG，∠AEC=ABG，即可证明CE⊥BG；
（2）延长GA，过E作EQ⊥AQ，即可求得EQ=BC=3，根据勾股定理可求得AC的长度，即可求得AEG面积．

解答：解：（1）如图，

∵∠EAB=∠GAC=90°，
∴∠EAC=∠BAG，
在△EAC和△BAG中，

EA=BA ∠EAC=∠BAG AC=AG

，
∴△EAC≌△BAG（SAS），
∴CE=BG，∠AEC=ABG，
∵∠AEC+∠APE=90°，∠APE=∠BPC，
∴∠BPC+∠ABG=90°，
∴CE⊥BG；
（2）延长GA，过E作EQ⊥AQ，

∵∠EAB=∠GAC=90°，
∴∠EAG+∠BAC=180°，
∵∠EAG+∠EAQ=180°，
∴∠EAQ=∠BAC，
∴EQ=AE•sin∠EAQ=AB•

BC

AB

BC=3，
∵BC=3，AB=5，
∴AC=

AB2-AC2

=4，
∴AEG面积=

1

2

AG•EQ=

1

2

×4×3=6．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的应用，本题中求证△EAC≌△BAG是解题的关键．