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15.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,点E是边BC上的动点(不与点B,C重合),以AE为边作∠EAF,使得∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD,射线AF交边CD于点F.
(1)如图1,当点E是边CB的中点时,判断并证明线段AE,AF之间的数量关系;
(2)如图2,当点E不是边BC的中点时,求证:BE=CF.

分析 (1)AE=AF,易证△ABC是等边三角形,即可得AB=AC,求得∠ACF=∠B=60°,然后利用平行线与三角形外角的性质,可求得∠AEB=∠AFC,证得△AEB≌△AFC,即可得AE=AF,证得△AEF是等边三角形即可;
(2)由(1)可知∠B=60°,△ABCA是等边三角形,∠EAF=60°,再结合已知条件可证明△ABE≌△ACF(ASA),由全等三角形的性质即可得到BE=CF.

解答 解:(1)AE=AF,理由如下:
连接AC.如图所示:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,
∵∠BAD=120°,
∴∠B=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠ACB=60°.
∴∠B=∠ACF=60°.
∵AD∥BC,
∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD,∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD.
∴∠AEB=∠AFC.
在△ABE和△ACF中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ACF}\\{∠AEB=∠AFC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$,
∴△ABE≌△ACF(AAS).
∴AE=AF.
(2)证明:由(1)得:∠B=60°,△ABCA是等边三角形,∠EAF=60°,
∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°,
∴∠BAC=∠EAF=60°,
∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC,
∴∠BAE=∠CAF,
∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=120°,
∴∠BCD=∠BAD=120°,
∴∠ACD=∠BCD-∠BAC=60°,
∴∠ACD=∠B=60°,
在△ABE和△ACF中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CAF}\\{AB=AC}\\{∠B=∠ACF}\end{array}\right.$,
∴△ABE≌△ACF(ASA).
∴BE=CF.

点评 本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、熟练掌握菱形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.

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