【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(﹣2,0),(x1 , 0),且1<x1<2,与y轴的正半轴的交点在(0,2)的下方.下列结论:①4a﹣2b+c=0;②a<b<0;③2a+c>0;④2a﹣b+1<0.其中正确结论有 . (填序号)
【答案】①②③
【解析】解:①由二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(﹣2,0),4a﹣2b+c=0,故①正确;
②因为图象与x轴两交点为(﹣2,0),(x1 , 0),且1<x1<2,
对称轴x= =﹣ ,
则对称轴﹣ <﹣ <0,且a<0,
∴a<b<0,
由抛物线与y轴的正半轴的交点在(0,2)的下方,得c>0,即a<b<c,故②正确;
③设x2=﹣2,则x1x2= ,而1<x1<2,
∴﹣4<x1x2<﹣2,∴﹣4< <﹣2,
∴2a+c>0,4a+c<0,故③正确;
④c<2,4a﹣2b+c=0,
4a﹣2b+2>0,2a﹣b+1>0,故④错误;
所以答案是:①②③.
【考点精析】通过灵活运用二次函数图象以及系数a、b、c的关系,掌握二次函数y=ax2+bx+c中,a、b、c的含义:a表示开口方向:a>0时,抛物线开口向上; a<0时,抛物线开口向下b与对称轴有关:对称轴为x=-b/2a;c表示抛物线与y轴的交点坐标:(0,c)即可以解答此题.
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【题目】类比等腰三角形的定义,我们定义:有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.
(1)概念理解:
如图1,在四边形ABCD中,添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”.请写出你添加的一个条件.
(2)问题探究:
①小红猜想:对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形,她的猜想正确吗?请说明理由.
②如图2,小红画了一个Rt△ABC,其中∠ABC=90°,AB=2,BC=1,并将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BB′方向平移得到△A′B′C′,连结AA′,BC′,小红要使平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”,应平移多少距离(即线段BB′的长)?
(3)拓展应用:
如图3,“等邻边四边形”ABCD中,AB=AD,∠BAD+∠BCD=90°,AC,BD为对角线,AC= AB,试探究BC,CD,BD的数量关系.
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【题目】如图,已知AD∥BE∥CF,它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F.
(1)如果AB=6,BC=8,DF=21,求DE的长;
(2)如果DE:DF=2:5,AD=9,CF=14,求BE的长.
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【题目】如图,Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合,B点与0刻度线的一端重合,∠ABC=40°,射线CD绕点C转动,与量角器外沿交于点D,若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形,则点D在量角器上对应的度数是( )
A.40°
B.70°
C.70°或80°
D.80°或140°
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【题目】小明是个爱动脑筋的孩子,他在学完与圆有关的角圆周角、圆心角后,意犹未尽,又查阅到了与圆有关的另一种角﹣﹣﹣﹣﹣﹣弦切角.请同学们先仔细阅读下面的材料,再完成后面的问题.
材料:顶点在圆上,一边与圆相交,另一边与圆相切的角叫做弦切角.如图1,弧 是弦切角∠PAB所夹的弧,他发现弦切角与它所夹的弧所对的圆周角有关系.
问题1:如图2,直线DB切⊙O于点A,∠PCA是圆周角,当圆心O位于边AC上时,
求证:∠PAD=∠PCA,请你写出这个证明过程.
问题拓展:
如果圆心O不在∠PCA的边上,∠PAD=∠PCA还成立吗?如图3,当圆心O在∠PCA的内部时,小明证明了这个结论是成立的.他的思路是:作直线AE,联结PE,由问题1的结论可知∠PAD=∠PEA,而∠PCA=∠PEA,从而证明∠PAD=∠PC.
问题2:如图4,当圆心O在∠PCA的外部时,∠PAD=∠PCA仍然成立.请你仿照小明的思路证明这个结论.
运用:如图5,AD是△ABC中∠BAC的平分线,经过点A的⊙O与BC切于点D,与AB、AC分别相交于E、F.求证:EF∥BC.(提示:可以直接使用本题中的结论)
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【题目】某公司投资建了一商场,共有商铺30间,据预测,当每间租金定为10万元,可全部租出,每间的年租金每增加5000元,少租出商铺1间,该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.
(1)当每间商铺的年租金为l3万元时,能租出多少间?
(2)若从减少空铺的角度来看,当每间商铺的年租金为多少万元时,该公司的年收益为275万元?
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【题目】用适当方法解下列方程
(1)x(x+4)=8x+12
(2)(x+3)2=25(x﹣1)2
(3)(x+1)(x+8)=﹣12
(4)x4﹣x2﹣6=0.
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【题目】某校初三年级(1)班要举行一场毕业联欢会.规定每个同学分别转动下图中两个可以自由转动的均匀转盘A、B(转盘A被均匀分成三等份.每份分別标上1.2,3三个数宇.转盘B被均匀分成二等份.每份分别标上4,5两个数字).若两个转盘停止后指针所指区域的数字都为偶数(如果指针恰好指在分格线上.那么重转直到指针指向某一数字所在区域为止).则这个同学要表演唱歌节目.请求出这个同学表演唱歌节目的概率(要求用画树状图或列表方法求解)
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【题目】已知AB为⊙O直径,以OA为直径作⊙M.过B作⊙M得切线BC,切点为C,交⊙O于E.
(1)在图中过点B作⊙M作另一条切线BD,切点为点D(用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法,不用证明);
(2)证明:∠EAC=∠OCB;
(3)若AB=4,在图2中过O作OP⊥AB交⊙O于P,交⊙M的切线BD于N,求BN的值.
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