Question

【题目】如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在BD上，OE＝OF．

（1）求证：AE＝CF．

（2）若AB＝2，∠AOD＝120°，求矩形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）4

【解析】

（1）由矩形的性质得出OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，证出OE=OF，由SAS证明△AOE≌△COF，即可得出AE=CF；

（2）证出△AOB是等边三角形，得出OA=AB=2，AC=2OA=4，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC= =，即可得出矩形ABCD的面积．

(1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴OA＝OC，

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF（SAS），

∴AE＝CF；

（2）解：∠AOD＝120°，

所以，∠AOB＝60°，

∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，

∴OA＝OB，

∴△AOB是等边三角形，

∴OA＝AB＝2，

∴AC＝2OA＝4，

在Rt△ABC中，BC＝，

∴矩形ABCD的面积＝ABBC＝2×2＝4．