Question

12．方程xyz+xy+xz+yz+x+y+z=2012的非负整数解有（　　）组．

• A． 6
• B． 12
• C． 24
• D． 27

Answer 1

分析 先将等式化成（x+1）（y+1）（z+1）=2013，然后分三种情况讨论得出非负整数解的可能，最后加起来即可．

解答 解：∵xyz+xy+xz+yz+x+y+z
=（xyz+yz）+（xy+y）+（xz+z）+（x+1）-1
=yz（x+1）+y（x+1）+z（x+1）+（x+1）-1
=（x+1）（yz+y+z+1）-1
=（x+1）[y（z+1）+（z+1）]-1
=（x+1）（y+1）（z+1）-1
=2012，
∴（x+1）（y+1）（z+1）=2013，
∵x，y，z都大于0，
①当x+1，y+1，z+1中没有一个等于1时，∴2013=3×11×61，共有6种；
②当x+1，y+1，z+1中有一个等于1时，
Ⅰ、当x+1=1时，即x=0时，∴2013=3×671=11×183=61×33，有6种，
Ⅱ、当y+1=1时，即y=0时，∴2013=3×671=11×183=61×33，有6种，
Ⅲ、当z+1=1时，即z=0时，∴2013=3×671=11×183=61×33，有6种，
③当x+1，y+1，z+1中有两个等于1时，共3种，
综上：4×6+3=27种，
故选D．

点评 此题是非一次不定方程，主要考查了分组，分类讨论，解本题的关键是得出（x+1）（y+1）（z+1）=2013，也是解本题的难道．