Question

3．（1）如图1，长方形ABCD中分别沿AF、CE将AC两侧折叠，使点B、D分别落在AC上的G、H处，则线段AE=CF．（填“＞”“＜”或“=”）
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，△ABF≌△CDE，AB=10cm，BF=6cm，AF=8cm，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．
①若点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，设运动时间为t秒．当点P在FB上运动，而点Q在DE上运动时，若四边形APCQ是平行四边形，求此时t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），利用备用图探究，当a与b满足什么数量关系时，四边形APCQ是平行四边形．

Answer 1

分析 （1）根据内错角相等得出AF∥CE，由两对应边互相平行得出AFCE是平行四边形，即可得出AE=CF；
（2）①当P点在BF上，Q点在ED上时，能构成平行四边形，根据平行四边形的性质，列出方程求解即可；
②分三种情况：当点P在AF上，Q点在CE上时，AP=CQ；当点P在BF上，Q点在DE上时，AQ=CP；当点P在AB上，Q点在CD上时，AP=CQ，分别得出a与b满足的数量关系式．

解答 解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BAC=∠DCA，
由折叠的性质可知，∠FAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$∠DCA=∠ECA，
∴AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AE=CF．
故答案为：=；

（2）①∵在平行四边形ABCD中，△ABF≌△CDE，
∴AE=CF，BF=DE=6cm，AB=CD=10cm，
∵如图2，当P点在BF上，Q点在ED上，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∴FP=EQ，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PF=5t-8，QE=16-4t，
∴5t-8=16-4t，
解得t=$\frac{8}{3}$，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=$\frac{8}{3}$秒；

②由题意得，以A，C，P，Q四点的四边形是平行四边形时，点P、Q在相互平行的对边上，
分三种情况：
Ⅰ．如图3，当点P在AF上，Q点在CE上时，AP=CQ，
即a=24-b，得：a+b=24；

Ⅱ．如图4，当点P在BF上，Q点在DE上时，AQ=CP，
又∵AE=CF，
∴EQ=FP，
即16-b=a-8，得a+b=24；

Ⅲ．如图5，当点P在AB上，Q点在CD上时，AP=CQ，
即24-a=b，得a+b=24．

综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=24（ab≠0）．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的性质，翻折变换的性质的综合应用，根据图形判断出以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q的位置是解题的关键．解题时注意分类思想的运用．