Question

20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在BC的延长线上，且BD=AB，过点B作BE⊥AC，与BD的垂线DE交于点E
（1）求证：△ABC≌△BDE；
（2）BDE可由ABC旋转得到，利用尺规作出旋转中心O；（保留作图痕迹，不写作法）
（3）若AB=2，当△ABC转到△BDE时，求B点所经过的路径长．

Answer 1

分析 （1）利用已知得出∠A=∠DBE，进而利用ASA得出△ABC≌△BDE即可；
（2）首先找出对应点，然后作对应点连线的垂直平分线，交点即为旋转中心；
（3）先求的OB的长，然后根据旋转的方向和旋转角的大小计算即可．

解答 解：证明（1）∵BE⊥AC
∴∠A+∠ABE=90°
∵∠ABC=90°
∴∠DBE+∠ABE=90°
∴∠A=∠DBE
在△ABC和△BDE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DBE}\\{BD=AB}\\{∠ABC=∠BDE=90}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△DOC．
（2）分别作对应点B、D连线的中垂线、A、B连线的垂直平分线，两线的交点即为旋转中心O．

（3）如下图：

由作图可知，AO=BO=DO
∴∠OAB=∠OBA，∠OBD=∠ODB
∵∠OBA+∠OBD=90°
∴∠OAB+∠OBA+∠OBD+∠ODB=180°
∴A，O，D在同一直线上
∵AB=BD
∴△ABD为等腰直角三角形
∵O为AD的中点
∴∠BOD=90°．
在Rt△BOD中，$\frac{OB}{BD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即：$\frac{OB}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴OB=$\sqrt{2}$，
当△ABC按逆时针旋转时，点B经过的路径=$\frac{90}{360}×2πr=\frac{\sqrt{2}}{2}π$，
当△ABC按顺时针旋转时，点B经过的路径=$\frac{270}{360}×2πr=\frac{3\sqrt{2}}{2}π$．
∴B点所经过的路径长为$\frac{\sqrt{2}}{2}π$或$\frac{3\sqrt{2}}{2}π$..

点评 本题主要考查的是旋转的性质和全等三角形的判定，由旋转的性质确定出旋转中心和旋转半径以及旋转角的大小是解题的关键．