【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,DE⊥AD,交AB于点E,AE为⊙O的直径
(1)判断BC与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)求证:△ABD∽△DBE;
(3)若cosB= ,AE=4,求CD.
【答案】
(1)解:结论:BC与⊙O相切.
证明:如图连接OD.
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∵AD平分∠CAB,
∴∠CAD=∠DAB,
∴∠CAD=∠ADO,
∴AC∥OD,
∵AC⊥BC,
∴OD⊥BC.
∴BC是⊙O的切线
(2)解:∵BC是⊙O切线,
∴∠ODB=90°,
∴∠BDE+∠ODE=90°,
∵AE是直径,
∴∠ADE=90°,
∴∠DAE+∠AED=90°,
∵OD=OE,
∴∠ODE=∠OED,
∴∠BDE=∠DAB,
∵∠B=∠B,
∴△ABD∽△DBE
(3)解:在Rt△ODB中,∵cosB= = ,设BD=2 k,OB=3k,
∵OD2+BD2=OB2,
∴4+8k2=9k2,
∴k=2,
∴BO=6,BD=4 ,
∵DO∥AC,
∴ = ,
∴ = ,
∴CD= .
【解析】(1)结论:BC与⊙O相切,连接OD只要证明OD∥AC即可.(2)欲证明△ABD∽△DBE,只要证明∠BDE=∠DAB即可.(3)在Rt△ODB中,由cosB= = ,设BD=2 k,OB=3k,利用勾股定理列出方程求出k,再利用DO∥AC,得 = 列出方程即可解决问题.本题考查圆的综合题、切线的判定、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识,解题的关键是灵活运用这些知识解决问题,学会添加常用辅助线,学会用方程的思想思考问题,属于中考常考题型.
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【题目】三张背面完全相同的数字牌,它们的正面分别印有数字“1”、“2”、“3”,将它们背面朝上,洗匀后随机抽取一张,记录牌上的数字并把牌放回,再重复这样的步骤两次,得到三个数字a、b、c,则以a、b、c为边长正好构成等边三角形的概率是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】在矩形ABCD中,E为CD的中点,H为BE上的一点, ,连接CH并延长交AB于点G,连接GE并延长交AD的延长线于点F.
(1)求证: ;
(2)若∠CGF=90°,求 的值.
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【题目】如图是一副秋千架,左图是从正面看,当秋千绳子自然下垂时,踏板离地面0.5m(踏板厚度忽略不计), 右图是从侧面看,当秋千踏板荡起至点B位置时,点B离地面垂直高度BC为1m,离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m(不考虑支柱的直径).求秋千支柱AD的高.
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【题目】概念学习
规定:如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角,那么称这两个三角形互为“等角三角形”.
从三角形不是等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原来三角形是“等角三角形”,我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”.
理解概念
如图1,在中,,,请写出图中两对“等角三角形”概念应用
如图2,在中,CD为角平分线,,.
求证:CD为的等角分割线.
在中,,CD是的等角分割线,直接写出的度数.
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【题目】最近,“校园安全”受到全社会的广泛关注,重庆一中学生会新闻社准备近期做一个关于“校园安全”的专刊.为了解同学们对“校园安全”知识的了解程度,决定随机抽取部分同学进行一次问卷调查,问卷将了解程度分为(了解)、(了解很少)、(基本了解)、(不了解)四种类型,根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图,请结合统计图信息解答下列问题:
(1)这次调查中,一共调查了 名学生,图中类所对应的圆心角度数为 ;
(2)请补全条形统计图;
(3)为了让全校师生都能更好地关注“校园安全”,学生会准备组织一次宣讲活动,由问卷调查中“了解”的几名同学组成一个宣讲团.已知这几名同学中有四名来自初一,其中两名为男生;另外四名来自初二,其中一名为女生.若要在该宣讲团中分别抽取初一、初二各一名同学在全校师生大会上作代表发言,请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生来发言的概率.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,AB的垂直平分线交BC于M,交AB于E,AC的垂直平分线交BC于N,交AC于F,若MN=2,则AB长( )
A. B. 3 C. 2 D.
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【题目】张华在一次数学活动中,利用“在面积一定的矩形中,正方形的周长最短”的结论,推导出“式子x+ (x>0)的最小值是2”.其推导方法如下:在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x,则另一边长是 ,矩形的周长是2(x+ );当矩形成为正方形时,就有x= (x>0),解得x=1,这时矩形的周长2(x+ )=4最小,因此x+ (x>0)的最小值是2.模仿张华的推导,你求得式子 (x>0)的最小值是( )
A.2
B.1
C.6
D.10
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