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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,DE⊥AD,交AB于点E,AE为⊙O的直径

(1)判断BC与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)求证:△ABD∽△DBE;
(3)若cosB= ,AE=4,求CD.

【答案】
(1)解:结论:BC与⊙O相切.

证明:如图连接OD.

∵OA=OD,

∴∠OAD=∠ODA,

∵AD平分∠CAB,

∴∠CAD=∠DAB,

∴∠CAD=∠ADO,

∴AC∥OD,

∵AC⊥BC,

∴OD⊥BC.

∴BC是⊙O的切线


(2)解:∵BC是⊙O切线,

∴∠ODB=90°,

∴∠BDE+∠ODE=90°,

∵AE是直径,

∴∠ADE=90°,

∴∠DAE+∠AED=90°,

∵OD=OE,

∴∠ODE=∠OED,

∴∠BDE=∠DAB,

∵∠B=∠B,

∴△ABD∽△DBE


(3)解:在Rt△ODB中,∵cosB= = ,设BD=2 k,OB=3k,

∵OD2+BD2=OB2

∴4+8k2=9k2

∴k=2,

∴BO=6,BD=4

∵DO∥AC,

=

=

∴CD=


【解析】(1)结论:BC与⊙O相切,连接OD只要证明OD∥AC即可.(2)欲证明△ABD∽△DBE,只要证明∠BDE=∠DAB即可.(3)在Rt△ODB中,由cosB= = ,设BD=2 k,OB=3k,利用勾股定理列出方程求出k,再利用DO∥AC,得 = 列出方程即可解决问题.本题考查圆的综合题、切线的判定、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识,解题的关键是灵活运用这些知识解决问题,学会添加常用辅助线,学会用方程的思想思考问题,属于中考常考题型.

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A.
B.
C.
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理解概念

如图1,在中,,请写出图中两对“等角三角形”概念应用

如图2,在中,CD为角平分线,

求证:CD的等角分割线.

中,CD的等角分割线,直接写出的度数.

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(2)请补全条形统计图;

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A.2
B.1
C.6
D.10

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