Question

【题目】在矩形ABCD中，E为CD的中点，H为BE上的一点， ，连接CH并延长交AB于点G，连接GE并延长交AD的延长线于点F．

（1）求证： ；
（2）若∠CGF=90°，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴CD∥AB，AD=BC，AB=CD，AD∥BC，

∴△CEH∽△GBH，

∴

（2）解：作EM⊥AB于M，如图所示：

则EM=BC=AD，AM=DE，

∵E为CD的中点，

∴DE=CE，

设DE=CE=3a，则AB=CD=6a，

由（1）得： =3，

∴BG= CE=a，

∴AG=5a，

∵∠EDF=90°=∠CGF，∠DEF=∠GEC，

∴△DEF∽△GEC，

∴ ，

∴EGEF=DEEC，

∵CD∥AB，

∴ = ，

∴ ，

∴EF= EG，

∴EG EG=3a3a，

解得：EG= a，

在Rt△EMG中，GM=2a，

∴EM= = a，

∴BC= a，

∴ = =3 ．

【解析】（1）根据相似三角形判定的方法，判断出△CEH∽△GBH，即可推得 ．（2）作EM⊥AB于M，则EM=BC=AD，AM=DE，设DE=CE=3a，则AB=CD=6a，由（1）得： =3，得出BG= CE=a，AG=5a，证明△DEF∽△GEC，由相似三角形的性质得出EGEF=DEEC，由平行线证出 ，得出EF= EG，求出EG= a，在Rt△EMG中，GM=2a，由勾股定理求出BC=EM= a，即可得出结果．此题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
【考点精析】解答此题的关键在于理解矩形的性质的相关知识，掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等，以及对相似三角形的判定与性质的理解，了解相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．