【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣1.0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,﹣3),顶点为D.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)求此抛物线顶点D的坐标和对称轴.
(3)探究对称轴上是否存在一点P,使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的P点的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:∵抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣1.0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,﹣3),
∴ ,
解得, ,
即此抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3;
(2)
解:∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴此抛物线顶点D的坐标是(1,﹣4),对称轴是直线x=1
(3)
解:存在一点P,使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形,
设点P的坐标为(1,y),
当PA=PD时,
= ,
解得,y=﹣ ,
即点P的坐标为(1,﹣ );
当DA=DP时,
= ,
解得,y=﹣4±2 ,
即点P的坐标为(1,﹣4﹣2 )或(1,﹣4+2 );
当AD=AP时,
= ,
解得,y=±4,
即点P的坐标是(1,4)或(1,﹣4),
当点P为(1,﹣4)时与点D重合,故不符合题意,
由上可得,以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时,点P的坐标为(1,﹣ )或(1,﹣4﹣2 )或(1,﹣4+2 )或(1,4)
【解析】(1)根据抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣1.0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,﹣3),可以求得抛物线的解析式;(2)根据(1)中的解析式化为顶点式,即可得到此抛物线顶点D的坐标和对称轴;(3)首先写出存在,然后运用分类讨论的数学思想分别求出各种情况下点P的坐标即可.本题考查二次函数综合题,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用分类讨论的数学思想解答问题.
【考点精析】认真审题,首先需要了解二次函数的图象(二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点).
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【题目】如图,点B、F、C、E在一条直线上,AB∥ED,AC∥FD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△DEF的是( )
A.AB=DE
B.AC=DF
C.∠A=∠D
D.BF=EC
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【题目】已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点C(0,﹣6),与x轴的一个交点坐标是A(﹣2,0).
(1)求二次函数的解析式,并写出顶点D的坐标;
(2)将二次函数的图象沿x轴向左平移 个单位长度,当 y<0时,求x的取值范围.
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【题目】我们知道:“两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等”.但是,小亮发现:当这两个三角形都是锐角三角形时,它们会全等,除小亮的发现之外,当这两个三角形都是时,它们也会全等;当这两个三角形其中一个三角形是锐角三角形,另一个是时,它们一定不全等.
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【题目】(在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,若∠C=90°,如图1,则有a2+b2=c2;若△ABC为锐角三角形时,小明猜想:a2+b2>c2 , 理由如下:如图2,过点A作AD⊥CB于点D,设CD=x.在Rt△ADC中,AD2=b2﹣x2 , 在Rt△ADB中,AD2=c2﹣(a﹣x)2
∴a2+b2=c2+2ax
∵a>0,x>0
∴2ax>0
∴a2+b2>c2
∴当△ABC为锐角三角形时,a2+b2>c2
所以小明的猜想是正确的.
(1)请你猜想,当△ABC为钝角三角形时,a2+b2与c2的大小关系.
(2)温馨提示:在图3中,作BC边上的高.
(3)证明你猜想的结论是否正确.
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【题目】如图,点P是∠AOB内任意一点,且∠AOB=40°,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,当△PMN周长取最小值时,则∠MPN的度数为( )
A. 140° B. 100° C. 50° D. 40°
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【题目】如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC.
(1)问线段EC与BF数量关系和位置关系?并给予证明.
(2)连AM,请问∠AME的大小是多少,如能求写出过程;不能求,写出理由.
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【题目】在矩形ABCD中,E为CD的中点,H为BE上的一点, ,连接CH并延长交AB于点G,连接GE并延长交AD的延长线于点F.
(1)求证: ;
(2)若∠CGF=90°,求 的值.
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