Question

如图，在平面直角坐标系中，已知矩形AOBC的顶点C的坐标是（2，4），动点P从点A出发，沿线段AO向终点O运动，同时动点Q从点B出发，沿线段BC向终点C运动．点P、Q的运动速度均为1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AO交AB于点E．
（1）求直线AB的解析式；
（2）设△PEQ的面积为S，求S与t时间的函数关系，并指出自变量t的取值范围；
（3）在动点P、Q运动的过程中，点H是矩形AOBC内（包括边界）一点，且以B、Q、E、H为顶点的四边形是菱形，直接写出t值和与其对应的点H的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题,平行线的性质,三角形的面积,菱形的性质

专题：综合题

分析：（1）依据待定系数法即可求得；
（2）有两种情况：当0＜t＜2时，PF=4-2t，当2＜t≤4时，PF=2t-4，然后根据面积公式即可求得；
（3）依据菱形的邻边相等关系即可求得．

解答：解：（1）∵C（2，4），
∴A（0，4），B（2，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴

4=b 0=2k+b

，
解得

k=-2 b=4

∴直线AB的解析式为y=-2x+4．

（2）如图2，过点Q作QF⊥y轴于F，
∵PE∥OB，
∴

PE

AP

=

OB

AO

=

1

2

∴有AP=BQ=t，PE=

1

2

t，AF=CQ=4-t，
当0＜t＜2时，PF=4-2t，
∴S=

1

2

PE•PF=

1

2

×

1

2

t（4-2t）=t-

1

2

t²，
即S=-

1

2

t²+t（0＜t＜2），
当2＜t≤4时，PF=2t-4，
∴S=

1

2

PE•PF=

1

2

×

1

2

t（2t-4）=

1

2

t²-t（2＜t≤4）．

（3）t₁=

20

13

，H₁（

10

13

，

12

13

），
t₂=20-8

5

，H₂（10-4

5

，4）．

点评：本题考查了待定系数法求解析式，平行线的性质，以及菱形的性质和三角形的面积公式的应用．