Question

【题目】已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA，OB(或它们的反向延长线)相交于点D，E.
当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图①)，易证：OD＋OE＝ OC；
当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，即在图②，图③这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD，OE，OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

Answer 1

【答案】证明：过点C分别作OA，OB的垂线，垂足分别为P，Q.

有△CPD≌△CQE，
∴DP＝EQ，
∵OP＝OD＋DP，OQ＝OE－EQ，
又∵OP＋OQ＝ OC，
即OD＋DP＋OE－EQ＝ OC，
∴OD＋OE＝ OC.
图③不成立，
有数量关系：OE－OD＝ OC
过点C分别作CK⊥OA， CH⊥OB， ∵OC为∠AOB的角平分线，且CK⊥OA，CH⊥OB， ∴CK=CH，∠CKD=∠CHE=90°， 又∵∠KCD与∠HCE都为旋转角， ∴∠KCD=∠HCE， ∴△CKD≌△CHE， ∴DK=EH， ∴OE-OD=OH+EH-OD=OH+DK-OD=OH+OK， 由（1）知：OH+OK= OC， ∴OD，OE，OC满足OE-OD= OC．
【解析】模仿第1种特例，过点C作垂线，构造出全等的三角形，即△CPD≌△CQE，由对应边相等可得出另两个类似的结论.