Question

【题目】已知二次函数图象的顶点坐标为M（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．P（a，0）是x轴上的一个动点，过P作x轴的垂线分别与直线AB和二次函数的图象交于D、E两点．

（1）求m的值及这个二次函数的解析式；

（2）若点P的横坐标为2，求△ODE的面积；

（3）当0＜a＜3时，求线段DE的最大值；

（4）若直线AB与抛物线的对称轴交点为N，问是否存在一点P，使以M、N、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）m＝1，y＝x2﹣2x+1；（2）S△ODE＝2；（3）DE的最大值为；（4）满足题意的点P是存在的，坐标为（2，0）或（，0）或（，0）．

【解析】

（1）直线y=x+m 经过点A（3，4），4=3+m，m=1，二次函数图象的顶点坐标为M（1，0），即可求解；

（2）把x=2代入y=x2-2x+1 得y=1，E（2，1），把x=2代入y=x+1得y=3，D（2，3），即可求解；

（3）由题意得D（a，a+1），E（a，a2-2a+1），DE=（a+1）-（a2-2a+1）=-（a）2+，即可求解；

（4）分两种情况：D点在E点的上方、D点在E点的下方，分别求解即可．

解：（1）∵直线y＝x+m 经过点A（3，4），

∴4＝3+m，

∴m＝1，

∵二次函数图象的顶点坐标为M（1，0），

∴设y＝a（x﹣1）2

∵抛物线经过A（3，4），

∴a＝1，

∴y＝x2﹣2x+1；

（2）把x＝2代入y＝x2﹣2x+1 得y＝1，

∴E（2，1），

把x＝2代入y＝x+1得y＝3，

∴D（2，3），

∴DE＝3﹣1＝2

∴S△ODE＝2；

（3）由题意得D（a，a+1），E（a，a2﹣2a+1），

∴DE＝（a+1）﹣（a2﹣2a+1）＝﹣（a）2+，

∴当a＝（属于0＜a＜3 范围）时，DE的最大值为；

（4）∵直线AB：y＝x+1，N（1，2），

∴MN＝2，

∵要使四边形为平行四边形只要DE＝MN．

∴分两种情况：

①D点在E点的上方，则

DE＝（a+1）﹣（a2﹣2a+1）＝﹣a2+3a，

∴﹣a2+3a＝2，

∴a＝1（舍去）或a＝2；

②D点在E点的下方，则 DE＝a2﹣3a＝2，

∴a＝或；

综上所述，满足题意的点P是存在的，坐标为（2，0）或（，0）或（，0）．