Question

9．如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连接CD，DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若BD=4，CD=3，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据BC是⊙O的直径，得到∠ADC=90°，根据直角三角形的性质得到DE=EC=$\frac{1}{2}$AC，根据切线的性质得到AC⊥OC，推出DE⊥OD，即可得到结论；
（2）在Rt△BCD中，根据勾股定理得到BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=5，根据相似三角形的性质得到结论．

解答 解：（1）连接OD，∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∵E为AC的中点，
∴DE=EC=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠1=∠2，
∵OD=OC，
∴∠3=∠4，
∵AC切⊙O于点C，
∴AC⊥OC，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；

（2）在Rt△BCD中，
∵BD=4，CD=3，
∴BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=5，
∵∠BCD=∠BCA=90°，∠B=∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴$\frac{CD}{AC}=\frac{BD}{BC}$，即$\frac{3}{AC}=\frac{4}{5}$，
∴AC=$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．