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【题目】在正方形网格中以点A为圆心,AB为半径作圆A交网格于点C(如图(1)),过点C作圆的切线交网格于点D,以点A为圆心,AD为半径作圆交网格于点E(如图(2)).

问题:

(1)求∠ABC的度数;

(2)求证:△AEB≌△ADC;

(3)△AEB可以看作是由△ADC经过怎样的变换得到的?并判断△AED的形状(不用说明理由).

(4)如图(3),已知直线a,b,c,且a∥b,b∥c,在图中用直尺、三角板、圆规画等边三角形A′B′C′使三个顶点A′,B′,C′,分别在直线a,b,c上.要求写出简要的画图过程,不需要说明理由.

【答案】(1)∠ABC=60°;

(2)证明见解析;

(3)△AEB可以看作是由△ADC绕点A顺时针旋转60°得到的,△AED是等边三角形;

(4)作图及画图过程见解析.

【解析】试题分析:

(1)连接BC,通过证明△ABC是等边三角形,即可求出∠ABC的度数;
(2)在Rt△AEBRt△ADC中,通过HL证明△AEB≌△ADC;
(3)由旋转的性质即可得出△AED是等边三角形;
(4)利用HL定理可证△A′N′C′≌△A′M′B′,得∠C′A′N′=∠B′A′M′,于是∠B′A′C′=∠M′A′N′=60°,由A′B′=A′C′得△A′B′C′为等边三角形.

试题解析:

(1)连接BC,如图所示:

由网格可知点CAB的中垂线上,
∴AC=BC,
∵AB=AC,∴AB=BC=AC,即△ABC是等边三角形.
∴∠ABC=60°;

(2)如图所示:

∵CD切⊙A于点C,
∴∠ACD=90°∠ABE=∠ACD=90°,
Rt△AEBRt△ADC中,
∵AB=AC,AE=AD.
∴Rt△AEB≌Rt△ADC(HL);
(3)△AEB可以看作是由△ADC绕点A顺时针旋转60°得到的.△AED是等边三角形;
(4)①在直线a上任取一点,记为点A′,作A′M′⊥b,垂足为点M′;②作线段A′M′的垂直平分线,此直线记为直线d;③以点A′为圆心,A′M′长为半径画圆,与直线d交于点N′;④过点N′作N′C′⊥A′N′交直线c于点C′,连接A′C′;⑤以点A′为圆心,A′C′长为半径画圆,此圆交直线b于点B′;⑥连接A′B′、B′C′,则△A′B′C′为所求等边三角形.

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成绩x/分

频数

频率

50≤x<60

10

0.05

 60≤x<70

30

0.15

 70≤x<80

40

n

 80≤x<90

m

0.35

 90≤x≤100

50

0.25

请根据所给信息,解答下列问题:

(1)m=   ,n=   

(2)请补全频数分布直方图;

(3)这次比赛成绩的中位数会落在   分数段;

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