Question

4．如图，在△ABC中，∠B=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交BC于E，连接AE交⊙O于点F．
（1）证明：CE=EB；
（2）若⊙O的半径为3，tan∠AEB=$\frac{3}{4}$，求线段AF的值．

Answer 1

分析 （1）连结OD，如图，先根据切线长定理得到ED=EB，再根据切线的性质得∠CDE+∠ODA=90°，加上∠ODA=∠OAD，则∠CDE+∠OAD=90°，由于∠C+∠OAD=90°，则∠C=∠CDE，所以ED=EC，于是可得CE=EB；
（2）连结BF，如图，根据圆周角定理得∠AFB=90°，在Rt△ABE中利用正切定义可计算出BE=8，则利用勾股定理计算出AE=10，接着计算出cos∠EAB=$\frac{3}{5}$，然后在Rt△ABF中利用∠FAB的余弦可求出AF的长．

解答 （1）证明：连结OD，如图，
∵AB⊥BC，
∴BC为⊙O的切线，
∵DE为⊙O的切线，
∴ED=EB，OD⊥DE，
∴∠CDE+∠ODA=90°，
而OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠CDE+∠OAD=90°，
而∠C+∠OAD=90°，
∴∠C=∠CDE，
∴ED=EC，
∴CE=EB；
（2）解：连结BF，如图，
∵AB为直径，
∴∠AFB=90°，
在Rt△ABE中，∵AB=6，tan∠AEB=$\frac{AB}{BE}$=$\frac{3}{4}$，
∴BE=8，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=10，
∴cos∠EAB=$\frac{AB}{AE}$=$\frac{3}{5}$，
在Rt△ABF中，∵cos∠FAB=$\frac{AF}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
∴AF=$\frac{3}{5}$×6=$\frac{18}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了解直角三角形．