Question

如图，已知函数y=

4

3

x与反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象交于点A．将y=

4

3

x的图象向下平移6个单位后与双曲线y=

k

x

交于点B，与x轴交于点C．若

OA

CB

=2，则k的值是

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,一次函数图象与几何变换,反比例函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：根据一次函数图象的平移问题由y=

4

3

x的图象向下平移6个单位得到直线BC的解析式为y=

4

3

x-6，然后把y=0代入即可确定C点坐标；作AE⊥x轴于E点，BF⊥x轴于F点，易证得Rt△OAE∽△RtCBF，则

OA

CB

=

AE

BF

OE

CF

=2，若设A点坐标为（a，

4

3

a），则CF=

1

2

a，BF=

2

3

a，得到B点坐标为（

9

2

+

1

2

a，

2

3

a），然后根据反比例函数上点的坐标特征得a•

4

3

a=（

9

2

+

1

2

a）•

2

3

a，解得a=3，于是可确定点A的坐标为（3，4），再利用待定系数法确定反比例函数的解析式．

解答：解：∵y=

4

3

x的图象向下平移6个单位后与双曲线y=

k

x

交于点B，与x轴交于点C，
∴直线BC的解析式为y=

4

3

x-6，
把y=0代入得

4

3

x-6=0，解得x=

9

2

，
∴C点坐标为（

9

2

，0）；
作AE⊥x轴于E点，BF⊥x轴于F点，如图，
∵OA∥BC，
∴∠AOC=∠BCF，
∴Rt△OAE∽Rt△CBF，
∴

OA

BC

=

AE

BF

=

OE

CF

=2，
设A点坐标为（a，

4

3

a），则OE=a，AE=

4

3

a，
∴CF=

1

2

a，BF=

2

3

a，
∴OF=OC+CF=

9

2

+

1

2

a，
∴B点坐标为（

9

2

+

1

2

a，

2

3

a），
∵点A与点B都在y=

k

x

的图象上，
∴a•

4

3

a=（

9

2

+

1

2

a）•

2

3

a，解得a=3，
∴点A的坐标为（3，4），
把A（3，4）代入y=

k

x

得k=3×4=12，
故答案为：12．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了相似三角形的判定与性质以及一次函数图象的平移问题．