【题目】如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(－3，0)、(0，4)，抛物线y＝
x2＋bx＋c经过点B，且顶点在直线x＝
上．
(1)求抛物线对应的函数关系式；
(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；
(4)在(2)、(3)的条件下，若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合)，过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）点C和点D都在所求抛物线上，理由见解析(3) P(
)(4) 当
时，S取最大值是
。此时，点M的坐标为(0，
)
【解析】解：（1）∵抛物线y＝
x2＋bx＋c经过点B(0，4)，∴c＝4。
∵顶点在直线x＝
上，∴
，解得
。
∴所求函数关系式为。
（2）在Rt△ABO中，OA＝3，OB＝4，∴
。
∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝DA＝AB＝5。
∴C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，
当x＝5时，
；
当x＝2时，
。
∴点C和点D都在所求抛物线上。
（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，
设直线CD对应的函数关系式为y＝kx＋b，
则
，解得，
。∴直线CD对应的函数关系式为
。
当x＝时，
。∴P()。
（4）∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD。
∴
，即
，得
。
设对称轴交x于点F，则
。
∵
，
，
(0＜t＜4)。
∵
，
，0＜
＜4，
∴当时，S取最大值是。此时，点M的坐标为(0，)。
（1）根据抛物线y＝
x2＋bx＋c经过点B(0，4)，以及顶点在直线x＝上，得出b，c即可。
（2）根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，利用图象上点的性质得出x＝5或2时，y的值即可。
（3）首先设直线CD对应的函数关系式为y＝kx＋b，求出解析式，当x＝时，求出y即可。
（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出
，得到
，从而表示出△PMN的面积，利用二次函数最值求出即可。
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【题目】在△ABC中，∠ABC＝90°
（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为点M，N，求证：△ABM∽△BCN；
（2）如图2，P是BC边上一点，∠BAP＝∠C，tan∠PAC＝
，BP＝2cm，求CP的长．
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【题目】在平面直角坐标系中，有两点
、
，若满足：当
时，
，
；当
时，
，
，则称点为点的“友好点”.
（1）点
的“友好点”的坐标是_______.
（2）点是直线
上的一点，点
是点
的“友好点”.
①当点与点重合时，求点的坐标.
②当点与点不重合时，求线段
的长度随着
的增大而减小时，的取值范围.
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【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角边BC为直径作⊙O、交AB于点D，E为AC的中点，连接DE
(1)求证：DE为⊙O的切线；
(2)已知BC＝4．填空．
①当DE＝ 时，四边形DOCE为正方形；
②当DE＝ 时，△BOD为等边三角形．
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【题目】一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有1个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为
．
（1）求袋子中白球的个数；（请通过列式或列方程解答）
（2）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答）
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【题目】如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱长进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（ ）
A.
B.
C.
D.
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【题目】如图1是实验室中的一种摆动装置，
在地面上，支架
是底边为的等腰直角三角形，摆动臂长
可绕点
旋转，摆动臂
可绕点
旋转，
，
.
（1）在旋转过程中：
①当
三点在同一直线上时，求
的长；
②当三点在同一直角三角形的顶点时，求的长.
（2）若摆动臂顺时针旋转
，点的位置由
外的点
转到其内的点
处，连结
，如图2，此时
，
，求
的长.
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【题目】如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑3个小正方形所形成的图案．
（1）如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概率是多少？
（2）现将方格内空白的小正方形（A，B，C，D，E，F）中任取2个涂黑，得到新图案．请用列表或画树状图的方法求新图案是轴对称图形的概率．
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