Question

如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，B、E是半圆弧的三等分点，

BE

的长为

1

3

π，则图中阴影部分的面积为

 

．

Answer 1

考点：扇形面积的计算,弧长的计算

专题：

分析：首先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出BC，AC的长，利用S_△ABC-S_扇形BOE=图中阴影部分的面积求出即可．

解答：解：连接BD，BE，BO，EO，
∵B，E是半圆弧的三等分点，
∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，
∴∠BAC=∠EBA=30°，
∴BE∥AD，
∵

BE

的长为

1

3

π，
∴

60π×R

180

=

1

3

π，
解得：R=1，
∴AB=ADcos30°=

3

，
∴BC=

1

2

AB=

3

2

，
∴AC=

AB2-BC2

=

( 3 )2-( 3 2 )2

=

3

2

，
∴S_△ABC=

1

2

×BC×AC=

1

2

×

3

2

×

3

2

=

3 3

8

，
∵△BOE和△ABE同底等高，
∴△BOE和△ABE面积相等，
∴图中阴影部分的面积为：S_△ABC-S_扇形BOE=

3 3

8

-

60π×12

360

=

3 3

8

-

π

6

．
故答案为：

3 3

8

-

π

6

．

点评：此题主要考查了扇形的面积计算以及三角形面积求法等知识，根据已知得出∴△BOE和△ABE面积相等是解题关键．