Question

Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD平分∠BAC，
（1）过点D作DE⊥AB，垂足为E（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）线段AC，CD，AB之间的数量关系是什么？请说明理由．

Answer 1

考点：角平分线的性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）以点D为圆心，适当长为半径画弧，交BA于两点，以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，交BA的上方于一点，作过这点和点D的直线交BA于点E；
（2）根据AAS可以证明△ACD≌△AED，得AE=AC，DE=CD．根据等腰直角三角形的性质，得∠B=45°，则∠BED=45°，从而证明DE=BE，则可得出AB=AC+CD．

解答：解：（1）如图，


（2）AB=AC+CD，理由如下：
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠EAD．
在△ACD与△AED中，

∠CAD=∠EAD ∠C=∠AED=90° AD=AD

，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC=AE，CD=ED．
∵∠BED=90°，∠B=45°，
∴∠BDE=∠B=45°，
∴DE=BE，
∴AB=AE+BE=AC+CD．

点评：此题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及过一点作已知直线的垂线，难度适中．