Question

已知，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，∠ADB=60°，E、F、G分别是OA、OB、CD的中点，判断△EFG的形状，并说明理由．

Answer 1

考点：等腰梯形的性质

专题：

分析：分析：连接DE、CF，如图，先根据等腰梯形的性质得AB=DC，OA=OD，OB=OC，再由∠ADB=60°可判断△OBC和△OAD都为等边三角形，则根据等腰三角形的性质由E、F分别为OA、OB的中点得到DE⊥OA，CF⊥OB，接着根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EG=

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CD，FG=

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2

CD；然后利用三角形中位线性质得到EF=

1

2

AB=

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2

CD，所以EF=EG=FG，于是可判断△EFG为等边三角形．

解答：证明：连接DE、CF，如图，
∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），
∴AB=DC，OA=OD，OB=OC，
∵∠ADB=60°，
∴△OBC和△OAD都为等边三角形，
∵E、F分别为OA、OB的中点，
∴DE⊥OA，CF⊥OB，
在Rt△CDE中，
∵点G为斜边CD的中点，
∴EG=

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CD，
同理可得FG=

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2

CD，
∵E、F分别为OA、OB的中点，
∴EF为△OAB的中位线，
∴EF=

1

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AB，
∴EF=

1

2

CD，
∴EF=EG=FG，
∴△EFG为等边三角形．

点评：本题考查了等腰梯形的性质：等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线；等腰梯形同一底上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等．也考查了等边三角形的判定与性质、三角形中位线性质和直角三角形斜边上的中线性质．