【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A(﹣2,0)、B(4、0)两点,与y轴交于C点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)T是抛物线对称轴上的一点,且△ATC是以AC为底的等腰三角形,求点T的坐标;
(3)M、Q两点分别从A、B点以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行,当点M到原点时,点Q立刻掉头并以每秒 个单位长度的速度向点B方向移动,当点M到达抛物线的对称轴时,两点停止运动,过点M的直线l⊥x轴交AC或BC于点P.求点M的运动时间t与△APQ面积S的函数关系式,并求出S的最大值.
【答案】
(1)
解:把A(﹣2,0),B(4,0)代入y=ax2+bx+4得:
,
解得:a=﹣ ,b=1,
∴抛物线的解析式是:y=﹣ x2+x+4,
答:抛物线的解析式是y=﹣ x2+x+4.
(2)
解:由y=﹣ x2+x+4=﹣
(x﹣1)2+
,得抛物线的对称轴为直线x=1,
直线x=1交x轴于点D,设直线x=1上一点T(1,h),
连接TC、TA,作CE⊥直线x=1,垂足是E,
由C(0,4)得点E(1,4),
在Rt△ADT和Rt△TEC中,由TA=TC得32+h2=12+(4﹣h)2,
∴h=1,
∴T的坐标是(1,1),
答:点T的坐标是(1,1).
(3)
解:(I)当0<t≤2时,△AMP∽△AOC,
∴ ,PM=2t,
AQ=6﹣t,
∴S= PMAQ=
×2t(6﹣t)=﹣t2+6t=﹣(t﹣3)2+9,
当t=2时S的最大值为8;
(II)当2<t≤3时,
作PM⊥x轴于M,作PF⊥y轴于点F,
则△COB∽△CFP,
又∵CO=OB,
∴FP=FC=t﹣2,PM=4﹣(t﹣2)=6﹣t,AQ=4+ (t﹣2)=
t+1,
∴S= PMAQ=
(6﹣t)(
t+1)=﹣
t2+4t+3=﹣
(t﹣
)2+
,
当t= 时,S最大值为
,
综合(I)(II)S的最大值为 ,
答:点M的运动时间t与△APQ面积S的函数关系式是S=﹣t2+6t(0<t≤2),S=﹣ t2+4t+3(2<t≤3),S的最大值是
.
【解析】(1)把A、B的坐标代入抛物线的解析式得到方程组,求出方程组的解即可;(2)设直线x=1上一点T(1,h),连接TC、TA,作CE⊥直线x=1,垂足是E,根据TA=TC由勾股定理求出即可;(3)(I)当0<t≤2时,△AMP∽△AOC,推出比例式,求出PM,AQ,根据三角形的面积公式求出即可;(II)当2<t≤3时,作PM⊥x轴于M,PF⊥y轴于点F,表示出三角形APQ的面积,利用配方法求出最值即可.
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【题目】为解决中小学大班额问题,东营市各县区今年将改扩建部分中小学,某县计划对A、B两类学校进行改扩建,根据预算,改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元,改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元.
(1)改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元?
(2)该县计划改扩建A、B两类学校共10所,改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担.若国家财政拨付资金不超过11800万元;地方财政投入资金不少于4000万元,其中地方财政投入到A、B两类学校的改扩建资金分别为每所300万元和500万元.请问共有哪几种改扩建方案?
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【题目】如图,经过原点的抛物线y=﹣x2+2mx(m>0)与x轴的另一个交点为A.过点P(1,m)作直线PM⊥x轴于点M,交抛物线于点B,记点B关于抛物线对称轴的对称点为C(点B,点C不重合).连接CB,CP.
(1)当m=3时,求点A的坐标及BC的长;
(2)当m>1时,连接CA,问m为何值时CA⊥CP?
(3)当m>1时过点P作PE⊥PC且PE=PC,问是否存在m,使得点E落在坐标轴上?若存在,求出所有满足要求的m的值,并定出相对应的点E坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】我市某中学八年级一班准备在“七一”组织参加红色旅游,班长把全班48名同学对旅游地点的意向绘制成了扇形统计图,其中“想去我市龙州县红八军纪念馆参加的学生数”的扇形圆心角为60°,则下列说法中正确的是( )
A.想去龙州县红八军纪念馆参加的学生占全班学生的60%
B.想去龙州县红八军纪念馆参观的学生有12人
C.想去龙州县红八军纪念馆参观的学生肯定最多
D.想去龙州县红八军纪念馆参观的学生占全班学生的
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【题目】2011年3月11日13时46分日本发生了9.0级大地震,伴随着就是海啸.山坡上有一颗与水平面垂直的大树,海啸过后,大树被刮倾斜后折断倒在山坡上,树的顶部恰好接触到坡面(如图所示).已知山坡的坡角∠AEF=23°,测得树干的倾斜角为∠BAC=38°,大树被折断部分和坡面的角∠ADC=60°,AD=4米.
(1)求∠DAC的度数;
(2)求这棵大树折断前高是多少米?(注:结果精确到个位)(参考数据: )
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【题目】如图所示,CD为⊙O的直径,点B在⊙O上,连接BC、BD,过点B的切线AE与CD的延长线交于点A,OE∥BD,交BC于点F,交AB于点E.
(1)求证:∠E=∠C;
(2)若⊙O的半径为3,AD=2,试求AE的长;
(3)求△ABC的面积.
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【题目】如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,且BD=CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.
(1)求证:AB=AC;
(2)若AD=2 ,∠DAC=30°,求AC的长.
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