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【题目】如图,已知直线l与⊙O相离,OAl于点A,交⊙O于点POA=5,AB与⊙O相切于点BBP的延长线交直线l于点C.

(1)求证:AB=AC

(2)若,求⊙O的半径.

【答案】(1)证明见试题解析;(23

【解析】试题分析:(1)由同圆半径相等和对顶角相等得∠OBP=∠APC,由圆的切线性质和垂直得∠ABP+∠OBP=90°∠ACB+∠APC=90°,则∠ABP=∠ACB,根据等角对等边得AB=AC

2)设O的半径为r,分别在RtAOBRtACP中根据勾股定理列等式,并根据AB=AC52﹣r2=225﹣r2,求出r的值即可.

试题解析:(1)连接OB∵OB=OP∴∠OPB=∠OBP∵∠OPB=∠APC

∴∠OBP=∠APC∵AB⊙O相切于点B∴OB⊥AB∴∠ABO=90°

∴∠ABP+∠OBP=90°∵OA⊥AC∴∠OAC=90°∴∠ACB+∠APC=90°∴∠ABP=∠ACB

∴AB=AC

2)设⊙O的半径为r,在Rt△AOB中,AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2

RtACP中,AC2=PC2﹣PA2AC2=225﹣r2

AB=AC52﹣r2=225﹣r2,解得:r=3

⊙O的半径为3

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B.13
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