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【题目】ABC是一张等腰直角三角形纸板,∠C=RtAC=BC=2.要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形(剪法如图1所示),图1中剪法称为第1次剪取,记所得的正方形面积为S1;按照图1中的剪法,在余下的ADEBDF中,分别剪取正方形,得到两个相同的正方形,称为第2次剪取,并记这两个正方形面积和为S2(如图2),则S2=_____;再在余下的四个三角形中,用同样的方法分别剪取正方形,得到四个相同的正方形,称为第3次剪取,并记这四个正方形的面积和为S3(如图3);继续操作下去则第2018次剪取后,S2018=_____

【答案】

【解析】

根据题意,可求得,同理可得规律Sn即是第n次剪取后剩余三角形面积和,根据此规律求解即可得答案.

∵四边形ECFD为正方形,∴EDECCFDF,∠AED=∠DFB=90°,∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠A=∠B=45°,∴AEDECEDFBFECCF,∵ACBC=2,∴DEDF=1,∴SAEDSBDFS正方形ECDF=1;同理S2即是第二次剪取后的剩余三角形的面积和,Sn即为第n次剪取后的三角形面积和,∴第一次剪取后剩余三角形的面积和为2-S1=1=S1,第二次剪取后剩余三角形的面积和为S1S2S2,第三次剪取后剩余三角形的面积和为S2S3S3,∴第2018次剪取后剩余三角形的面积和为S2017S2018.

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