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【题目】如图1所示,边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形,图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形,设图1中阴影部分面积为S1,图2中阴影部分面积为S2

(1)请直接用含a,b的代数式表示S1______,S2_____

(2)写出利用图形的面积关系所揭示的公式:_______

(3)利用这个公式说明216﹣1既能被15整除,又能被17整除.

【答案】(1)a2﹣b2;(a+b)(a﹣b);(2)a2﹣b2=(a+b)(a﹣b);(3)证明见解析.

【解析】

(1)图1用大正方形的面积去掉小正方形的面积,图2用长方形的面积计算公式;

(2)因为两个图形的阴影部分面积相等,可以根据第(1)问列出等式;

(3)利用所得到的平方差公式分解因式后进行说明.

(1)图1用大正方形的边长为a,小正方形的边长为b,故阴影部分面积为a2﹣b2,图2用长方形的长为(a+b),宽为(a﹣b),故阴影部分面积为(a+b)(a﹣b);

(2)观察图1和图2中阴影部分面积是相等的,故a2﹣b2=(a+b)(a﹣b);

(3)216﹣1=(28﹣1)(28+1)=(24﹣1)(24+1)(28+1)=15×17×(28+1)

因为28+1是整数,故216﹣1既能被15整除,又能被17整除.

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