Question

【题目】如图，在中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径作⊙O，与BC相切于点D，且交AB于点E．

（1）连结AD，求证：AD平分∠CAB；

（2）若BE=﹣1，求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接OD，证OD∥AC，求出∠OAD=∠ODA=∠CAD即可；

（2）证明△BOD是等腰直角三角形，分别求出△BOD和扇形EOD的面积即可．

（1）证明：如图，连结OD，

∵⊙O与BC相切于点D，

∴OD⊥BC，

即∠ODB=90°．

又∵∠C=90°，

∴OD∥AC，

∴∠ODA=∠CAD．

在⊙O中，OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD，

∴∠OAD=∠CAD，

∴AD平分∠CAB．

（2）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，

∴∠B=45°，

∴∠BOD=45°，

∴△BOD是等腰直角三角形，

∴OB=OD，BD=OD，

设⊙O的半径为r，则OD=BD=r，，

∴，

∴r=1，

∴=．