【题目】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观,形少数时难入微”;数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如,代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离;因为,所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离.
⑴. 发现问题:代数式的最小值是多少?
⑵. 探究问题:如图,点分别表示的是 ,.
∵的几何意义是线段与的长度之和
∴当点在线段上时,;当点点在点的左侧或点的右侧时
∴的最小值是3.
⑶.解决问题:
①.的最小值是 ;
②.利用上述思想方法解不等式:
③.当为何值时,代数式的最小值是2.
【答案】①6;②或;③或
【解析】
(3)①根据绝对值的几何意义可知,变成数轴上的点到-2的距离和到4的距离之和的最小值;
②根据题意画出相应的图形,确定出所求不等式的解集即可;
③根据原式的最小值为2,得到3左边和右边,且到3距离为2的点即可.
解:(3)①设A表示的数为4,B表示的数为-2,P表示的数为x,
∴表示数轴上的点P到4的距离,用线段PA表示,
表示数轴上的点P到-2的距离,用线段PB表示,
∴的几何意义表示为PA+PB,当P在线段AB上时取得最小值为AB,
且线段AB的长度为6,
∴的最小值为6.
故答案为:6.
②设A表示-3,B表示1,P表示x,
∴线段AB的长度为4,则,
的几何意义表示为PA+PB,
∴不等式的几何意义是PA+PB>AB,
∴P不能在线段AB上,应该在A的左侧或者B的右侧,
即不等式的解集为或.
故答案为:或.
③设A表示-a,B表示3,P表示x,
则线段AB的长度为,
的几何意义表示为PA+PB,当P在线段AB上时PA+PB取得最小值,
∴
∴或,
即或;
故答案为:或.
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【题目】如图,在中,∠C=90°,AC=BC,点O在AB上,以O为圆心,OA为半径作⊙O,与BC相切于点D,且交AB于点E.
(1)连结AD,求证:AD平分∠CAB;
(2)若BE=﹣1,求阴影部分的面积.
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【题目】某游泳馆普通票价20元/张,暑假为了促销,新推出两种优惠卡:
①金卡售价600元/张,每次凭卡不再收费.
②银卡售价150元/张,每次凭卡另收10元.
暑假普通票正常出售,两种优惠卡仅限暑假使用,不限次数.设游泳x次时,所需总费用为y元.
(1)分别写出选择银卡、普通票消费时,y与x之间的函数关系式;
(2)在同一坐标系中,若三种消费方式对应的函数图象如图所示,请求出点A、B、C的坐标;
(3)请根据函数图象,直接写出选择哪种消费方式更合算.
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【题目】近日,在公安部交通管理局部署下,全国各地交警都在大力开展|一盔一带安全守护行动,为了解市民对骑电动车戴头盔的赞同情况,某课题小组随机调查了部分市民,并根据调查结果绘制了尚不完整的统计图.
根据以上统计图回答一下问题:
(1)这次调查的市民共_______人;
(2)若选择的人数是选择的人数的3倍,则扇形统计图中,扇形的圆心角度数是______;
(3)补全条形统计图;
(4)若该市约有80万人,请估计安全意识淡薄(选择D或E)的人数.
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【题目】定义:如图,若菱形AECF与正方形ABCD两个顶点A,C重合,另外两个顶点E,F在正方形ABCD的内部,则称菱形AECF为正方形ABCD的内含菱形.
若正方形的周长为16,其内含菱形边长是整数,则内含菱形的周长为________;
若正方形的面积为18,其内含菱形的面积为6,则内含菱形的边长为________.
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【题目】如图,在直角坐标系中有一直角三角形AOB,O为坐标原点,OA=1,tan∠BAO=3,将此三角形绕原点O逆时针旋转90°,得到△DOC,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点,其横坐标为t,
①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E,连接PE,交CD于F,求出当△CEF与△COD相似时,点P的坐标;
②是否存在一点P,使△PCD的面积最大?若存在,求出△PCD的面积的最大值;若不存在,请说明理由.
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【题目】《九章算术》是我国古代数学的经典著作,书中有一个问题:“今有黄金九枚,白银一十一枚,称之重适等.交易其一,金轻十三两.问金、银一枚各重几何?”.意思是:甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同),乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同),称重两袋相等.两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计).问黄金、白银每枚各重多少两?设每枚黄金重x两,每枚白银重y两,根据题意得( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】如图,在中,,,点D是BC边上一动点,连接AD,把AD绕点A逆时针旋转90°,得到AE,连接CE,DE.点F是DE的中点,连接CF.
(1)求证:;
(2)如图2所示,在点D运动的过程中,当时,分别延长CF,BA,相交于点G,猜想AG与BC存在的数量关系,并证明你猜想的结论;
(3)在点D运动的过程中,在线段AD上存在一点P,使的值最小.当的值取得最小值时,AP的长为m,请直接用含m的式子表示CE的长.
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