Question

【题目】如图，在中，，，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．

（1）求证：；

（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；

（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使的值最小．当的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）先证△BAD≌△CAE，可得∠ABD＝∠ACE＝45°，可求∠BCE＝90°，由直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得结论；

（2）由（1）得，，，推出，然后根据现有条件说明

在中，，点A，D，C，E四点共圆，F为圆心，则，在中，推出，即可得出答案；

（3）设点P存在，由费马定理可得，设PD为，

得出，，得出，解出a，根据即可得出答案．

解：（1）证明如下：∵，

∴，

∵，，

∴在和中，

∴，

∴，

∴，

在中，F为DE中点（同时），，

∴，即为等腰直角三角形，

∴，

∵，

∴；

（2）由（1）得，，，

∴，

在中，，

∵F为DE中点，

∴，

在四边形ADCE中，有，，

∴点A，D，C，E四点共圆，

∵F为DE中点，

∴F为圆心，则，

在中，

∵，

∴F为CG中点，即，

∴，

即；

（3）设点P存在，由费马定理可得，

∴，

设PD为，

∴，

又，

∴，

又

∴．