Question

16．从-3，-2，-1，0，1，2，3这七个数中，随机取出一个数，记为a，那么a使关于x的方程$\frac{ax}{x-2}-2=\frac{x}{2-x}$有整数解，且使关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+1＞a\\ \frac{4-x}{2}≥1\end{array}\right.$有解的概率为$\frac{4}{7}$．

Answer 1

分析 先把分式方程化为整式方程得到（a-1）x=4，由于方程有整数解且x≠2，则a=-3，-1，0，2，3，再分别解两个不等式得到x＞a-1和x≤2，由于不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+1＞a\\ \frac{4-x}{2}≥1\end{array}\right.$有解，则a-1＜2，解得a＜3，于是使关于x的方程$\frac{ax}{x-2}-2=\frac{x}{2-x}$有整数解，且使关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+1＞a\\ \frac{4-x}{2}≥1\end{array}\right.$有解的a的值为-3，-1，0，2，然后根据概率公式求解．

解答 解：方程$\frac{ax}{x-2}-2=\frac{x}{2-x}$两边乘以x-2得ax-2（x-2）=-x，
整理得（a-1）x=4，
由于方程有整数解且x≠2，
所以a=-3，-1，0，2，3，
解x+1＞a得x＞a-1，
解$\frac{4-x}{2}$≥1得x≤2，
由于不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+1＞a\\ \frac{4-x}{2}≥1\end{array}\right.$有解，
所以a-1＜2，解得a＜3，
所以使关于x的方程$\frac{ax}{x-2}-2=\frac{x}{2-x}$有整数解，且使关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+1＞a\\ \frac{4-x}{2}≥1\end{array}\right.$有解的a的值为-3，-1，0，2，
所以使关于x的方程$\frac{ax}{x-2}-2=\frac{x}{2-x}$有整数解，且使关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+1＞a\\ \frac{4-x}{2}≥1\end{array}\right.$有解的概率=$\frac{4}{7}$．
故答案为$\frac{4}{7}$．

点评 本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了解分式方程和不等式组．