Question

【题目】如图，已知．

（1）用直尺和圆规画出的平分线（保留作图痕迹，不写作法，不用证明）

（2）在射线上任意选取一点，再在射线上选取一点，要求为钝角．

①在射线上找到所有使得的点．

②写出与之间的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析，②∠OBP=∠OD1P，∠OBP+∠OD2P =180°，证明见解析

【解析】

（1）以角顶点为圆心作弧，与角的边交于两点，再以两点为圆心，作弧，两弧相交一点，连接该点和角的顶点就得到角平分线；

（2）①以点P为圆心，PB为半径画圆，与ON相交的点即为D；

②利用角平分线的性质，判定Rt△BPE≌Rt△D1PF，即可得出∠OBP=∠OD1P，同理可得∠OBP+∠OD2P =180°.

（1）如图所示：

（2）①如图所示：

②∠OBP=∠OD1P，∠OBP+∠OD2P =180°；

证明：分别作PE⊥AM于点E，PF⊥AM于点F，如图所示：

∵OA平分∠MON

∴PE = PF

∵PB =PD1

∴Rt△BPE≌Rt△D1PF

∴ ∠PBE =∠PD1F

∴∠OBP=∠OD1P

同理可证∠PBE =∠PD2F

∵∠OBP+∠PBE =180°

∴∠OBP + ∠OD2P =180°.