Question

【题目】在直角坐标系中，O为原点，A（0，4），点B在直线y=kx+6（k＞0）上，若以O、A、B为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，k的值为（ ）
A.
B.
C.3
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】解：以点A，O，B为顶点的三角形是直角三角形，
当直角顶点是A和O时，直线y=kx+6上各存在一个点B满足条件，
要以O、A、B为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，直角顶点是B的△AOB只需存在一个，
所以，以OA为直径的圆C与直线y=kx+6相切，
如图，
设切点为B，直线y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B'、D，连接CB，
在y=kx+6中令y=0，得x=6，
∴OD=6，且OC= OA=2，
∴CD=4，
在Rt△CDB中，BC=2，CD=4，
∴sin∠BDC= = ，
∴∠ODB'=30°，
在Rt△OB'D中，∠ODB'=30°，OD=6，
∴tan∠ODB'= ，
∴tan30°= ，
∴OB'=6tan30°=2 ，
∵k＞0，
∴B'（﹣2 ，0），
将点B'（﹣2 ，0）代入y=kx+6中，得，﹣2 k+6=0，
∴k= ，
故选A．

【考点精析】关于本题考查的直线与圆的三种位置关系和锐角三角函数的定义，需要了解直线与圆有三种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点；锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数才能得出正确答案．