Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx与x轴交于点A，顶点B的坐标为（﹣2，﹣2）．

（1）求a，b的值；

（2）在y轴正半轴上取点C（0，4），在点A左侧抛物线上有一点P，连接PB交x轴于点D，连接CB交x轴于点F，当CB平分∠DCO时，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接PC，在PB上有一点E，连接EC，若∠ECB＝∠PDC，求点E的坐标．

Answer 1

【答案】（1）a＝，b＝2；（2）P(﹣6，6)；（3）(﹣，)

【解析】

（1）根据顶点B的坐标及原点即可求出解析式；

（2）过点B作BH⊥y轴于点H，过点D作DG⊥CB于点G，先求出tan∠BCH＝，再根据CB平分∠DCO求出点D的坐标，得到直线BD的解析式，利用抛物线的解析式即可得到点P的坐标；

（3）过点P作PM⊥y轴于点M，过点B作BH⊥y轴于点H，证明△PMC≌△CHB得到∠CPB＝∠CBP＝45°，过点C作CN⊥CE，过点B作BN⊥BP，CN、BN交于点N，连接DN，证明△ECD≌△NCD得到DE＝DN，过点P作PK⊥x轴于点K，利用勾股定理求出PD，设ED＝t，作BQ⊥x轴于点Q，求出BD后根据勾股定理求出ED，作ER⊥x轴于点R，根据平行线所截线段成比例求出ER，再根据三角函数求出DR即可得到点E的坐标.

解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+2）2﹣2＝ax2+4ax+4a﹣2，

故4a﹣2＝0，

解得：a＝，

b＝4a＝2；

（2）抛物线的表达式为：y＝x2+2x…①，

过点B作BH⊥y轴于点H，过点D作DG⊥CB于点G，

由点B、C的坐标得直线BC的表达式为：y＝3x+4，则点F（﹣，0），

∵点B（﹣2，﹣2），BH＝2，CH＝4+2＝6，则tan∠BCH＝＝tanα，

∵DG⊥BC，

∴∠FDG＝∠FCO＝α＝∠DCG，

在Rt△DFG中，设FG＝m，则DG＝3m，

则CG＝3DG＝9m，

CF＝9m﹣m＝8m＝,

解得：m＝，

DF＝，

OD＝OF+DF＝3，故点D（﹣3，0），

由点B、D的坐标可得，直线PB的表达式为：y＝﹣2x﹣6…②，

联立①②并解得：x＝﹣2（舍去）或﹣6，

故点P（﹣6，6）；

（3）如图2，过点P作PM⊥y轴于点M，过点B作BH⊥y轴于点H，

∵P（﹣6，6），

则PM＝OM＝6，

∴CM＝2，PM＝CH，

∴BH＝CM，

∵∠PMC＝∠BHC＝90°，

∴△PMC≌△CHB（HL），

∴CP＝CB，∠MPC＝∠BCH，

∵∠MPC+∠PCM＝90°，

∴∠BCH+∠PCM＝90°，

∴∠PCB＝90°，

∴∠CPB＝∠CBP＝45°，

过点C作CN⊥CE，过点B作BN⊥BP，CN、BN交于点N，连接DN，

则∠CBN＝90°﹣∠CPB＝45°，

∴∠CPB＝∠CBN，

∵∠ECN＝∠EBN＝90°，

∴∠CEB+∠CNB＝180°，

∵∠CEB+∠PEC＝180°，

∴∠CNB＝∠PEC，

∵PC＝CB，

∴△PEC≌△BNC（SAS），

则PE＝BN，CE＝CN，

∵∠ECB＝∠EDC+∠DCB，∠PDC＝∠DCB+∠CBD，∠ECB＝∠PDC，

∴∠ECD＝∠CBD＝45°，

∴∠DCN＝90°﹣∠ECD＝45°，

∴∠ECD＝∠DCN，

∵CD＝CD，

∴△ECD≌△NCD（SAS），

∴DE＝DN，

在Rt△DBN中，BD2+BN2＝DN2，则BD2+PE2＝DE2，

过点P作PK⊥x轴于点K，

∴PK＝KO＝6，

∵OD＝3，

∴KD＝3，

在Rt△PKD中，PD＝,

设ED＝t，则PE＝3﹣t，

过点B作BQ⊥x轴于点Q，则BQ＝OQ＝2，DQ＝OD﹣OQ＝1，

在Rt△BDQ中，BD＝＝，

故（）2+（3﹣t）2＝t2，

解得：t＝,

故DE＝，

过点E作ER⊥x轴于点R，则ER∥PK，

故，即 ,

解得：ER＝

∵∠EDR＝∠BDQ，

故tan∠EDR＝tan∠BDQ，

即：=2，

故DR＝，OR＝DR+OD＝+3＝，

故点E的坐标为：(﹣，)．