【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点M在AC边上,且AM=1,MC=4,动点P在AB边上,连接PC,PM,则PC+PM的最小值是( )
A.
B.6
C.
D.7
【答案】C
【解析】解:如图,过点作CO⊥AB于O,延长BO到C',使OC'=OC,连接MC',交AB于P,
此时PC'=PM+PC'=PM+PC的值最小,
连接AC',
∵CO⊥AB,AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠ACO= ×90°=45°,
∵CO=OC',CO⊥AB,
∴AC'=CA=AM+MC=5,
∴∠OC'A=∠OCA=45°,
∴∠C'AC=90°,
∴C'A⊥AC,
∴MC′= = = ,
∴PC+PM的最小值为 .
故选C.
【考点精析】解答此题的关键在于理解解直角三角形的相关知识,掌握解直角三角形的依据:①边的关系a2+b2=c2;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义.(注意:尽量避免使用中间数据和除法).
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【题目】探究证明:
(1)如图1,在△ABC中,AB=AC,点E是BC上的一个动点,EG⊥AB,EF⊥AC,CD⊥AB,点G,F,D分别是垂足.求证:CD=EG+EF;
猜想探究:
(2)如图2,在△ABC中,AB=AC,点E是BC的延长线上的一个动点,EG⊥AB于G,EF⊥AC交AC延长线于F,CD⊥AB于D,直接猜想CD、EG、EF之间的关系为;
(3)如图3,边长为10的正方形ABCD的对角线相交于点O、H在BD上,且BH=BC,连接CH,点E是CH上一点,EF⊥BD于点F,EG⊥BC于点G,则EF+EG= .
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【题目】在矩形ABCD中, =a,点G,H分别在边AB,DC上,且HA=HG,点E为AB边上的一个动点,连接HE,把△AHE沿直线HE翻折得到△FHE.
(1)如图1,当DH=DA时,填空:∠HGA=度;
(2)如图1,当DH=DA时,若EF∥HG,求∠AHE的度数,并求此时的最小值;
(3)如图3,∠AEH=60°,EG=2BG,连接FG,交边DC于点P,且FG⊥AB,G为垂足,求a的值.
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【题目】阅读下面材料: 小明遇到这样两个问题:
(1)如图1,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,OD⊥AC,垂足为D,BC=﹣6,求OD的长;
(2)如图2△ABC中,AB=6,AC=4,点D为BC的中点,求AD的取值范围. 对于问题(1),小明发现根据垂径定理,可以得出点D是AC的中点,利用三角形中位线定理可以解决;对于问题(2),小明发现延长AD到E,使DE=AD,连接BE,可以得到全等三角形,通过计算可以解决.
请回答:
问题(1)中OD长为;问题(2)中AD的取值范围是;
参考小明思考问题的方法,解决下面的问题:
(3)如图3,△ABC中,∠BAC=90°,点D、E分别在AB、AC上,BE与CD相交于点F,AC=mEC,AB=2 EC,AD=nDB.
①当n=1时,如图4,在图中找出与CE相等的线段,并加以证明;
②直接写出 的值(用含m、n的代数式表示).
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【题目】如图,△ABE是⊙O的内接三角形,AB为直径,过点B的切线与AE的延长线交于点C,D是BC的中点,连接DE,连接CO,线段CO的延长线交⊙O于F,FG⊥AB于G.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若AE=4,BE=2,求AG的长.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC的垂直平分线分别与AC、BC及AB的延长线交于点D、E、F,且BF=BC,⊙O是△BEF的外接圆,连接BD.
(1)求证:BD是⊙O的切线;
(2)求证:DEAC=BECE.
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【题目】抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)过A(4,4),B (2,m)两点,点B到抛物线对称轴的距离记为d,满足0<d≤1,则实数m的取值范围是 .
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【题目】端午节前夕,小东的父母准备购买若干个粽子和咸鸭蛋(每个粽子的价格相同,每个咸鸭蛋的价格相同).已知粽子的价格比咸鸭蛋的价格贵1.8元,花30元购买粽子的个数与花12元购买咸鸭蛋的个数相同,求粽子与咸鸭蛋的价格各多少?
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【题目】质地均匀的小正方体,六个面分别有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”,同时投掷两枚,观察朝上一面的数字.
(1)求数字“1”出现的概率;
(2)求两个数字之和为偶数的概率.
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