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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,直线l与坐标轴相交于A20),B0)两点,将RtAOB绕原点O逆时针旋转到RtAOB′.

1)求直线l的解析式;

2)若OA′⊥AB,垂足为D,求点D的坐标;

3)如图2,若将RtAOB绕原点O逆时针旋转90°,AB′与直线l相交于点F,点Ex轴上一动点,试探究:是否存在点E,使得以点AEF为顶点的三角形和△ABB′相似,若存在,请求出点E的坐标,若不存在,请说明理由.

【答案】1)直线l的解析式为y=﹣x+;(2D);(3)存在,E坐标为(0)或(﹣40).

【解析】

1)利用待定系数法即可解决问题.
2)根据两直线垂直k的乘积为-1,求出直线OA′的解析式,在构建方程组求出交点D坐标.
3)利用方程组求出答为F坐标,分两种情形分别求解即可解决问题.

解:(1)设直线l的解析式为ykx+b,则有

∴直线l的解析式为y=﹣x+

2)∵OA′⊥AB,直线AB的解析式为y=﹣x+

∴直线OA′的解析式为y2x

解得

D).

3)如图2中,设Em0),

由题意直线AB′的解析式为y2x+2

,解得

F

A′(02),B′(﹣0),A20),

ABAB′=5AF6

∵∠FAO=∠BAB

∴当时,△EAF∽△BAB′,

m

E0).

时,△EAF∽△BAB

=

m=﹣4

E(﹣40),

综上所述,满足条件的点E坐标为(0)或(﹣40).

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