【题目】如图1,在平面直角坐标系中,直线l与坐标轴相交于A(2,0),B(0,)两点,将Rt△AOB绕原点O逆时针旋转到Rt△A′OB′.
(1)求直线l的解析式;
(2)若OA′⊥AB,垂足为D,求点D的坐标;
(3)如图2,若将Rt△AOB绕原点O逆时针旋转90°,A′B′与直线l相交于点F,点E为x轴上一动点,试探究:是否存在点E,使得以点A,E,F为顶点的三角形和△A′BB′相似,若存在,请求出点E的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)直线l的解析式为y=﹣x+;(2)D(,);(3)存在,E坐标为(,0)或(﹣4,0).
【解析】
(1)利用待定系数法即可解决问题.
(2)根据两直线垂直k的乘积为-1,求出直线OA′的解析式,在构建方程组求出交点D坐标.
(3)利用方程组求出答为F坐标,分两种情形分别求解即可解决问题.
解:(1)设直线l的解析式为y=kx+b,则有,
∴,
∴直线l的解析式为y=﹣x+;
(2)∵OA′⊥AB,直线AB的解析式为y=﹣x+,
∴直线OA′的解析式为y=2x,
,
解得,
∴D(,).
(3)如图2中,设E(m,0),
由题意直线A′B′的解析式为y=2x+2,
由,
,解得,
∴F(,)
∵A′(0,2),B′(﹣,0),A(2,0),
∴A′B=,A′B′=5,AF=6,
∵∠FAO=∠B′A′B,
∴当时,△EAF∽△BA′B′,
即,
∴m=,
∴E(,0).
当时,△EAF∽△B′A′B,
即=,
∴m=﹣4,
∴E(﹣4,0),
综上所述,满足条件的点E坐标为(,0)或(﹣4,0).
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【题目】关于x的一元二次方程x2﹣(2m﹣1)x+m2+1=0.
(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围;
(2)设x1,x2分别是方程的两个根,且满足x12+x22=x1x2+10,求实数m的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A、B的坐标分别为(0,2)、(1,0),顶点C在函数y=x2+bx-1的图象上,将正方形ABCD沿x轴正方向平移后得到正方形A′B′C′D′,点D的对应点D′落在抛物线上,则点D与其对应点D′之间的距离为 ______.
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【题目】“江畔”礼品店在十一月份从厂家购进甲、乙两种不同礼品.购进甲种礼品共花费1500元,购进乙种礼品共花费1050元,购进甲种礼品数量是购进乙种礼品数量的2倍,且购进一件乙种礼品比购进一件甲种礼品多花20元.
⑴求购进一件甲种礼品、一件乙种礼品各需多少元;
⑵元旦前夕,礼品店决定再次购进甲、乙两种礼品共50个.恰逢该厂家对两种礼品的价格进行调整,一件甲种礼品价格比第一次购进时提高了20%,一件乙种礼品价格比第一次购进时降低了5元.如果此次购进甲、乙两种礼品的总费用不超过3100元,那么这家礼品店最少可购进多少件甲种礼品?
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【题目】有七张正面分别标有数字:﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3的卡片,除数字外其余全部相同,现将它们背面朝上,洗匀后从中随机抽取一张,记卡片上的数字为m,则使关于x的方程x2﹣2(m﹣1)x+m2﹣3m=0有实数根,且不等式组无解的概率是_____.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,以对角线的一半为边依次作平行四边形,则=__________,=_________________ .
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【题目】为了节省材料,某农场主利用围墙(围墙足够长)为一边,用总长为80m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等,则能围成的矩形区域ABCD的面积最大值是___m2.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,CE是⊙O切线,C是切点,EA交弦BC于点D、交⊙O于点F,连接CF:
(1)如图1,求证:∠ECB=∠F+90°;
(2)如图2,连接CD,延长BA交CE于点H,当OD⊥BC、HA=HE时,求证:AB=CE;
(3)如图3,在(2)的条件K在EF上,EH=FK,S△ADO=,求WE的长.
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【题目】如图1,已知点A(﹣1,0),点B(0,﹣2),AD与y轴交于点E,且E为AD的中点,双曲线y=经过C,D两点且D(a,4)、C(2,b).
(1)求a、b、k的值;
(2)如图2,线段CD能通过旋转一定角度后点C、D的对应点C′、D′还能落在y=的图象上吗?如果能,写出你是如何旋转的,如果不能,请说明理由;
(3)如图3,点P在双曲线y=上,点Q在y轴上,若以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形,试求满足要求的所有点P、Q的坐标.
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