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【题目】如图,AB是⊙O的直径,CE是⊙O切线,C是切点,EA交弦BC于点D、交⊙O于点F,连接CF

1)如图1,求证:∠ECB=∠F+90°

2)如图2,连接CD,延长BACE于点H,当ODBCHAHE时,求证:ABCE

3)如图3,在(2)的条件KEF上,EHFKSADO,求WE的长.

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)WE=

【解析】

1)应用切线性质和圆周角定理即可证得结论;
2)过点CCGEFG,连接BF,先证明BDF≌△CDGAAS),再证明ABF≌△ECGAAS),即可得出结论;
3)先证明ABD≌△ECAASA),再证明ACDDEF为等腰直角三角形,设FK=aBF=b,则DF=bBD=CD=AC=bAD=AC=2bBC=2b,由勾股定理可得:OB=bAB=CE=b,再根据SADO=,建立方程可求得b=1,过点CCTABT,过WWREFR,利用勾股定理和相似三角形性质即可求得WE

1)证明:如图1,连接OC,∵OBOC

∴∠OCB=∠B

∴∠F=∠B

∴∠OCB=∠F

CE是⊙O切线,

OCCE

∴∠OCE90°

∵∠ECB=∠OCB+OCE

∴∠ECB=∠F+90°

2)证明:如图2,过点CCGEFG,连接BF,则∠CGE=∠CGD90°

AB是⊙O的直径,

∴∠AFB90°=∠CGE=∠CGD

ODBC

BDCD

BDFCDG中,

,

∴△BDF≌△CDGAAS

BFCG

HAHE

∴∠EAH=∠E

∵∠BAF=∠EAH

∴∠BAF=∠E

ABFECG中,

,

∴△ABF≌△ECGAAS

ABCE

3)如图3,过点CCGEFG,连接ACOCOFBF

由(2)知:ABCE,∠BAF=∠E

OAOC

∴∠OCA=∠OAC

AB是⊙O的直径,CE是⊙O切线,

∴∠ACB=∠ECO90°,即∠ECA+OCA=∠ABC+OAC

∴∠ECA=∠ABC

∴△ABD≌△ECAASA

BDAC

BDCD

ACCD

∴△ACD为等腰直角三角形

∴∠ADC45°

∴∠EDF45°

∴△DEF是等腰直角三角形

FKaBFb,则DFbBDCDACbADAC2bBC2b

BDCDOAOB

ODACb

∵∠BDO90°

OBb

ABCE

SADO

SBODSCODSBOC1

BCOD1,即×2b×b1

b1

ABCEBF1ACBC2

AF3

过点CCTABT,则CT==,

OT,

tanCOH

CHOTCTOC,即: CH×

CH

EHFKa

CHCEEHa

a,解得:a

FKEH

∵△AEH∽△AFO

=,即AEOAAFEHAE×

AE2EKAE+AFFK2+3

WWREFR,易证:BFK∽△WRK

=,设KRmWR2m

tanWERtanBAF

,即ER6m

EK7m,解得:m

ERWR

WE=

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