Question

9．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作sad）．如图①，在△ABC中，AB=AC，顶角直的正对记作sadA，这时sadA=$\frac{底边}{腰}$=$\frac{BC}{AB}$．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°=1；
（2）如图②，△ABC中，CB=CA，若sadC=$\frac{6}{5}$，求tanB的值；
（3）如图③，Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=$\frac{4}{5}$，试求sadA的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意可知，sad60°为顶角为60°的等腰三角形，从而可以求得sad60°的值；
（2）根据△ABC中，CB=CA，sadC=$\frac{6}{5}$，可以求得CB与AB的关系，从而可以求得CB与AB边上的高的关系，从而可以解答本题；
（3）根据Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=$\frac{4}{5}$，构造以∠A为顶角的等腰三角形，然后根据题意可以解答本题．

解答 （1）∵顶角为60°的等腰三角形是等边三角形，
∴sad60°=$\frac{底边}{腰}=\frac{1}{1}=1$．
故答案为：1．
（2）如下图②所示：

作CD⊥BA于点D，
∵△ABC中，CB=CA，sadC=$\frac{6}{5}$，sadC=$\frac{AB}{BC}$，
∴AB=$\frac{6}{5}BC$，BD=AD=$\frac{1}{2}AB=\frac{3}{5}BC$．
∴CD=$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}=\sqrt{B{C}^{2}-（\frac{3}{5}BC）^{2}}$=$\frac{4}{5}BC$．
∴tanB=$\frac{CD}{BD}=\frac{\frac{4}{5}BC}{\frac{3}{5}BC}=\frac{4}{3}$．
即tanB=$\frac{4}{3}$．
（3）设AB=5a，BC=4a，则AC=3a．
如下图③所示，在AB上截取AD=AC=3a，作DE⊥AC于点E，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=$\frac{4}{5}$，
∴DE=AD•sinA=3a×$\frac{4}{5}$=$\frac{12a}{5}$，AE=AD•cosA=$3a×\frac{3}{5}=\frac{9a}{5}$．
∴CE=AC-AE=3a-$\frac{9a}{5}=\frac{6a}{5}$．
∴CD=$\sqrt{C{E}^{2}+D{E}^{2}}=\sqrt{（\frac{6a}{5}）^{2}+（{\frac{12a}{5}）}^{2}}$=$\frac{6\sqrt{5}a}{5}$．
∴sadA=$\frac{CD}{AC}=\frac{\frac{6\sqrt{5}a}{5}}{3a}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
即sadA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查解直角三角形，解题的关键是能明确题目中给出的新定义，前提必须是等腰三角形，会做合适的辅助线，构造等腰三角形．