Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，延长BP至点D，使得AD=AP，当AD⊥AB时，过点D作DE⊥AC于E．
（1）求证：∠CBP=∠ABP；
（2）若AB-BC=4，AC=8．
①求AB的长度及△ABP的面积；
②求AE的长．

Answer 1

分析 （1）要证∠CBP=∠ABP，只需证∠BPC=∠BDA即可，而题目告诉AP=AD，结论显然；
（2）①设AB的长为x，则BC可用x表示，用勾股定理建立方程即可解出x；要求△ABP的面积，只需求出AB边上的高即可，由（1）知BP是角平分线，所以作PF垂直AB于点F，可得BF=BC，PF=PC，从而AF=4，设PF=y，则AP=8-y，再用勾股定理解出y即可；
②证△PFA≌△AED即可得出AE=PF．

解答 解：（1）∵∠C=90°，
∴∠CBP+∠BPC=90°，
∵DA⊥BA，
∴∠PBA+∠BDA=90°，
∵AD=AP，
∴∠BDA=∠DPA=∠BPC，
∠CBP=∠ABP；

（2）①设AB=x，
∵AB-BC=4，
∴BC=x-4，
∵AC=8，
∴在Rt△ABC中，（x-4）²+64=x²，
解得：x=10，
即AB=10，
∴BC=6，
过点P作PF⊥BA于点F，如图，

在△BCP和△BFP中：
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBP=∠FBP}\\{∠BCP=∠BFP}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△BCP≌△BFP（AAS），
∴BF=BC=6，PF=PC，
∴AF=4，
设PF=PC=y，
在Rt△PAF中，16+y²=（8-y）²，
解得：y═3，
即PF=3，
∴${S}_{△ABP}=\frac{1}{2}×AB×PF$=$\frac{1}{2}×10×3$=15；
③∵DE⊥AC，
∴∠EAD+∠ADE=90°=∠PAF+∠EAD，
∠PAF=∠ADE，
在△PAF和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PFA=∠AED}\\{∠PAF=∠ADE}\\{PA=AD}\end{array}\right.$，
∴△PAF≌△ADE（AAS），
∴AE=PF=3．

点评 本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，有一定综合性，难度适中．通过角平分线上的点向两边作垂线，从而构造全等三角形，是常用手段，务必掌握．