Question

已知，正方形ABCD的边长为6，点E为BC的中点，点F在AB边上，且∠EDF=45°．
（1）利用画图工具，在右图中画出满足条件的图形；
（2）猜想tan∠ADF的值，并写出求解过程．
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Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,解直角三角形

专题：

分析：（1）如图所示；
（2）在BA的延长线上截取AG=CE，连接DG，根据△AGD≌△CED从而得到∠GDA=∠EDC，GD=ED，然后利用“边角边”证明△GDF≌△EDF，根据全等三角形对应边相等可得GF=EF，设AF=x，表示出BF、BE、EF，然后在Rt△BEF中利用勾股定理列式进行计算即可确定AF，进而求得tan∠ADF的值．

解答：解：（1）如图1． 
   
（2）猜想tan∠ADF的值为

1

3

．
求解过程如下：
如图2．

在BA的延长线上截取AG=CE，连接DG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC=AB=6，∠DAF=∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°．
∴∠GAD=90°．
在△AGD和△CED中，

AD=CD ∠GAD=∠C=90° AG=CE

，
∴△AGD≌△CED（SAS）．        
∴∠GDA=∠EDC，GD=ED，
∵∠FDE=45°，
∴∠ADF+∠EDC=45°．
∴∠ADF+∠GDA=45°．
∴∠GDF=∠EDF．
在△GDF和△EDF中，

GD=ED ∠GDF=∠EDF DF=DF

，
∴△GDF≌△EDF（SAS），
∴GF=EF．
设AF=x，则FB=6-x，
∵点E为BC的中点，
∴BE=EC=3．
∴AG=3．
∴FG=EF=3+x．
在Rt△BEF中，∠B=90°，
由勾股定理，得 BF²+BE²=EF²，
∴3²+（6-x）²=（3+x）²．
∴x=2．
∴AF=2．                     
∴在Rt△ADF中，tan∠ADF=

AF

AD

=

1

3

．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质以及解直角三角形，熟练掌握判定定理和性质以及解直角三角形的方法是解题的关键．