Question

如图，BE是⊙O的直径，点A，C，D，F都在⊙O上，

AE

=

CD

，连接CE，M是CE的中点，延长DE到点G，使得EG=DE，并且交AF的延长线于点G，此时F恰为AG的中点．
（1）若∠CDE=120°，CE=4

3

，求⊙O的周长．
（2）求证：2FE=CE．
（3）试探索：在

AB

上是否存在一点N，使得四边形NMEF是轴对称图形，并说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）连接OM，OC，利用含30°的直角三角形的性质求出半径，再求周长即可．
（2）连接AD，由中位线的性质可得2EF=AD，由

AE

=

CD

，可得

AD

=

CE

，可得对应的弦AD=CE，即可得出2FE=CE．
（3）连接FM，过点E作EN⊥FM，由EF=EM，可得EN⊥FM，且平分FM，所以在

AB

上是存在一点N，使得四边形NMEF是轴对称图形．

解答：解：（1）如图1，连接OM，OC

∵∠CDE=120°，
∴∠CBE=60°，
∴∠COE=120°，
∵M是CE的中点，
∴∠MOE=60°，∠OME=90°，
∵CE=4

3

，
∴EM=2

3

，
∴OE=4，
∴⊙O的周长为2π×OE=8π．
（2）如图2，连接AD，

∵F恰为AG的中点，EG=DE，
∴2EF=AD，
∵

AE

=

CD

，
∴

AD

=

CE

，
∴AD=CE，
∴2FE=CE．
（3）在

AB

上存在一点N，使得四边形NMEF是轴对称图形，
理由如下：
如图3，连接FM，过点E作EN⊥FM，

∵EF=EM，由（1）可得，
∴EN⊥FM，且平分FM，
∴在

AB

上是存在一点N，使得四边形NMEF是轴对称图形．

点评：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是正确的作出辅助线，灵活运用弦，圆周角，中垂线等知识．