Question

15．如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C，PO与⊙O相交点D，PO=2，若D为PO的中点，则阴影部分的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{6}$π．

Answer 1

分析 首先连接DC，由CP与⊙O相切于C，可得OC⊥CP，根据直角三角形斜边中线的性质得出OC=OD=CD=1，从而得出△COD是等边三角形，得出∠COD=60°，然后根据勾股定理求得PC的长，然后由S_阴影=S_△COP-S_扇形DOC，即可求得答案．

解答 解：连接CD，
∵CP与⊙O相切于C，
∴OC⊥CP，
∵PO=2，若D为PO的中点，
∴OC=OD=CD=1，
∴△COD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∵OC=1，OP=2，
∴PC=$\sqrt{O{P}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴S_阴影=S_△COP-S_扇形DOC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}×1$-$\frac{60π×{1}^{2}}{360}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{6}$π．
故答案为$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{6}$π．

点评 此题考查了切线的性质、勾股定理、扇形的面积以及直角三角形斜边中线的性质．此题难度适中．