Question

【题目】四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为_____．

Answer 1

【答案】70°

【解析】

延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N，此时△AMN周长最小，推出∠AMN+∠ANM=2(∠A′+∠A″)，进而得出∠MAN的度数．

解：延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．

∵∠ABC=∠ADC=90°，

∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，

此时△AMN的周长最小，

∵BA=BA′，MB⊥AB，

∴MA=MA′，同理：NA=NA″，

∴∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD，

∵∠AMN=∠A′+∠MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″，

∴∠AMN+∠ANM=2(∠A′+∠A″)，

∵∠BAD=125°，

∴∠A′+∠A″=180°﹣∠BAD=55°，

∴∠AMN+∠ANM=2×55°=110°．

∴∠MAN=180°﹣110°=70°，

故答案为：70°．