Question

7．请阅读下列材料：
问题：如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小．小明的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，则A'B与直线l的交点P即为所求．
请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）如图3，在图2的基础上，设AA'与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D．若CP=1，PD=2，AC=1，写出AP+BP的值为3$\sqrt{2}$；
（2）将（1）中的条件“AC=1”去掉，换成“BD=4-AC”，其它条件不变，写出此时AP+BP的值5；
（3）$\sqrt{{{（2m-3）}^2}+1}$+$\sqrt{{{（8-2m）}^2}+4}$的最小值为$\sqrt{34}$．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理求得PA，根据三角形相似对应边成比例求得PB，从而求得PA+PB；
（2）作AE∥l，交BD的延长线于E，根据已知条件求得BE、A′E，然后根据勾股定理即可求得A′B，从而求得AP+BP的值；
（3）设AC=2m-3，PC=1，则PA=$\sqrt{（2m-3）^{2}+1}$；设BD=8-2m，PD=2，则PB=$\sqrt{{{（8-2m）}^2}+4}$，结合（2）即可求得．

解答 解：（1）如图2，∵AA′⊥l，AC=1，PC=1，
∴PA=$\sqrt{2}$，
∴PA′=PA=$\sqrt{2}$，
∵AA′∥BD，
∴∠A′=∠B，
∵∠A′PC=∠BPD，
∴△A′PC∽△BPD，
∴$\frac{PB}{PA′}$=$\frac{PD}{PC}$，
∴$\frac{PB}{\sqrt{2}}$=$\frac{2}{1}$，
∴PB=2$\sqrt{2}$，
∴AP+PB=$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$；
故答案为3$\sqrt{2}$；
（2）作AE∥l，交BD的延长线于E，如图3，
则四边形A′EDC是矩形，
∴AE=DC=PC+PD=3，DE=A′C=AC，
∵BD=4-AC，
∴BD+AC=BD+DE=4，
即BE=4，
在RT△A′BE中，A′B=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴AP+BP=5，
故答案为5；        
（3）如图3，设AC=2m-3，PC=1，则PA=$\sqrt{（2m-3）^{2}+1}$；设BD=8-2m，PD=2，则PB=$\sqrt{{{（8-2m）}^2}+4}$，
∵DE=AC=2m-3，
∴BE=BD+DE=5，A′E=CD=PC+PD=3
∴PA+PB=A′B=$\sqrt{A′{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{34}$．
故答案为$\sqrt{34}$．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和勾股定理的应用是解题的关键．