Question

【题目】如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．

（1）求证：AD=AE；
（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接AC，

∵AB∥CD，

∴∠ACD=∠BAC，

∵AB=BC，

∴∠ACB=∠BAC，

∴∠ACD=∠ACB，

∵AD⊥DC，AE⊥BC，

∴∠D=∠AEC=90°，

∵AC=AC，

∴ ，

∴△ADC≌△AEC，（AAS）

∴AD=AE

（2）解：由（1）知：AD=AE，DC=EC，

设AB=x，则BE=x﹣4，AE=8，

在Rt△ABE中∠AEB=90°，

由勾股定理得：82+（x﹣4）2=x2，

解得：x=10，

∴AB=10．

说明：依据此评分标准，其它方法如：过点C作CF⊥AB用来证明和计算均可得分．

【解析】（1）连接AC证明AD、AE所在的三角形全等，即证明△ADC≌△AEC，即可得出结论。
（2）设AB=x，再用含x的代数式表示BE，利用勾股定理得到关于x的方程，求解即可。
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和直角梯形的相关知识点，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；一腰垂直于底的梯形是直角梯形才能正确解答此题．