Question

1．已知一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，如果b²-4ac≥0，那么它的两个实数根是x₁=$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$，x₂=$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$．
（1）计算：x₁+x₂、x₁x₂的值（用含a、b、c的代数式表示）；
（2）设方程2x²-4x-1=0的两个根分别为x₁、x₂，根据（1）所求的结果，不解方程直接写出x₁+x₂=2，x₁x₂=-$\frac{1}{2}$．
（3）如果方程2x²-4x+c=0的一根是2+$\sqrt{3}$，请你利用（1）中根与系数的关系求出方程的另一根及c的值．

Answer 1

分析 （1）把x₁=$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$，x₂=$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$代入x₁+x₂、x₁x₂即可得到结果；
（2）根据（1）中的结果代入即可得到结论；
（3）根据（1）中的结果，把系数代入即可得到结论．

解答 解：（1）x₁+x₂=$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$+$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$=-$\frac{b}{a}$，
x₁x₂=$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$•$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$=$\frac{（-b）^{2}-（\sqrt{{b}^{2}-4ac）^{2}}}{4{a}^{2}}$=$\frac{c}{a}$；

（2）∵方程2x²-4x-1=0的两个根分别为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-$\frac{-4}{2}$=2，x₁•x₂=$\frac{-1}{2}$=-$\frac{1}{2}$；
故答案为：2，-$\frac{1}{2}$；

（3）方程的另一根为x₁，
∴x₁+2+$\sqrt{3}$=2，x₁（2+$\sqrt{3}$）=$\frac{c}{2}$，
解得：x₁=$\sqrt{3}$，c=4$\sqrt{3}$+6．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．