Question

9．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，在AB上取一点E，连接CE，交AD于点F．若BE=2，BC=6，∠CAD=∠BCE．
求：（1）AE的长度；
（2）△CFD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠B，∠CAD=∠BAD，BD=CD=3，根据已知条件得到∠BEC=90°，推出△ABD∽△BCE，得到$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{BE}$，求得AB=9，结论即可得出；
（2）根据勾股定理得到CE=$\sqrt{B{C}^{2}-B{E}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，通过△DCF∽△BCE，求出DF=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，于是得到结果．

解答 解：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠ACB=∠B，∠CAD=∠BAD，BD=CD=3，
∵∠CAD=∠BCE，
∴∠BAD=∠BCE，
∴∠BAD+∠B=∠BCE+∠B=90°，
∴∠BEC=90°，
∴△ABD∽△BCE，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{BE}$，
∴$\frac{AB}{6}=\frac{3}{2}$，
∴AB=9．
∴AE=7；

（2）在R_t△BCE中，CE=$\sqrt{B{C}^{2}-B{E}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵∠CDF=∠CEB=90°，∠DCF=∠BCE，∴△DCF∽△BCE，
∴$\frac{DF}{BE}=\frac{CD}{CE}$，
∴$\frac{DF}{2}=\frac{3}{4\sqrt{2}}$，
∴DF=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴S_△CDF=$\frac{1}{2}$CD•DF=$\frac{1}{2}×3×\frac{3\sqrt{2}}{4}$=$\frac{9\sqrt{2}}{8}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．