Question

若从圆锥形纸帽的底面圆周上点A处用一条红线绕纸帽的侧面一圈，那么这样的红线至少要

 

cm．（红线的接头长度忽略不计）

Answer 1

考点：平面展开-最短路径问题,圆锥的计算

专题：

分析：将圆锥侧面展开，易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，利用弧长公式可得圆锥侧面展开图的圆心角度数，求得侧面展开图中AA′的距离即为最短的红线长．

解答：解：将圆锥侧面展开，如图．
∵圆锥的底面半径为20÷2=10cm，
∴圆锥的底面周长为2π×10=20πcm．
设圆锥侧面展开图的圆心角为n，
则

nπ×30

180

=20π，
解得n=120°．
作OC⊥AA′于点C，则∠AOC=60°，
在直角△AOC中，∵∠OCA=90°，∠AOC=60°，AO=30cm，
∴AC=AO×sin∠AOC=15

3

cm，
∴AA′=2AC=30

3

cm．
故答案为30

3

．

点评：本题考查了平面展开-最短路径问题及圆锥的计算；突破点是求得圆锥侧面展开图的圆心角度数；用到的知识点为：立体几何中的最短距离问题要转换为平面几何中求两点的距离问题；圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长．