Question

【题目】如图，一长度为10的线段AC的两个端点A、C分别在y轴和x轴的正半轴上滑动，以A为直角顶点，AC为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，连接BO．
（1）求OB的最大值；
（2）在AC滑动过程中，△OBC能否恰好为等腰三角形？若能，求出此时点A的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：取AC的中点D，连接OD、BD．

在Rt△ABC中，∵AC=AB=10，

∴OD= AC=5，AD=DB=5，BD= =5 ，

∵OB≤OD+BD，

∴OB的最大值为5+5

（2）解：作BE⊥y轴于E．

∵∠BEA=∠AOC=90°，∠BAC=90°，

∴∠EBA=∠OAC，

∵AB=AC，

∴△ABE≌△CAO，

∴BE=OA，

∴AE=OC．

①∵EA＜AB＜OB，EA=OC，

∴OC＜OB，即OC≠OB．

②∵OC＜OA＜BC，即OC≠BC．

③当OB=BC时，作BF⊥x轴于F，则OF=FC=BE，

设OA=a，则BE=a，OC=2a，

由OA2+OC2=AC2，a2+4a2=102，解得a=2 ，

∴A（0，2 ），

综上所述，当A（0，2 ）时，△OBC是等腰三角形．

【解析】（1）取AC的中点D，连接OD、BD．构建三边关系OB≤OD+BD，求出OD、OB即可解决问题；（2）作BE⊥y轴于E．分三种情形分类讨论①由EA＜AB＜OB，EA=OC，推出OC＜OB，即OC≠OB．②由OC＜OA＜BC，即OC≠BC．③当OB=BC时，作BF⊥x轴于F，则OF=FC=BE，设OA=a，则BE=a，OC=2a，由OA2+OC2=AC2 ， 构建方程即可；
【考点精析】本题主要考查了等腰直角三角形和等腰三角形的判定的相关知识点，需要掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等才能正确解答此题．